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PCA 维度降维

高维数据

高维数据指的是特征（变量）数量 ppp 远大于观测数 nnn 的数据集。例如，在基因数据中，我们可以测量 50 万个 DNA 突变（人类基因组有约 30 亿个碱基对），但实验通常仅涉及不到 1000 人，即：

p≈500k,n≈1000

挑战：

• 高维数据很难可视化
• 许多算法在高维空间中表现不佳
• 线性回归在 p≫n 时会导致 欠定问题

欠定问题（Underdetermined Problem） 是指在数学和统计建模中，未知数的数量 多于 约束条件（方程）的情况。这种情况下，无法唯一确定解，因为可能存在无穷多个解，甚至没有解。

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欠定问题的数学定义

如果一个线性方程组：

Ax=b

其中：

• A 是 m×n 维矩阵（m 行，n 列）
• x 是 n 维的未知变量向量
• b 是 m 维的已知向量

如果 未知数的个数 nnn 大于方程个数 mmm（即 n>m），那么这个方程组就是 欠定的。

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欠定问题的特点

1. 可能有无穷多个解：

   • 因为方程个数不足以唯一确定所有未知数，可能存在多个解满足方程组。

   • 例如，2 个方程 3 个未知数：

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ 2x-y+3z=2\end{array}$$

 这个方程组有无穷多个解，因为可以用一个自由变量来表示其他两个变量。

2. 可能没有解（特殊情况下）：

   • 如果方程组内部矛盾（例如，两个方程的右端项不一致），那么方程组无解。

3. 需要额外的约束来找到唯一解：

   • 正则化（Regularization）：在机器学习和统计中，常使用 Lasso（L1正则化）或 Ridge（L2正则化）来约束解。
   • 最小范数解（Minimum Norm Solution）：选择满足方程的解中，范数最小的解，如最小二乘法（Least Squares）。
   • 先验知识（Prior Knowledge）：在实际应用中，可以根据物理、统计等领域的先验知识，引入额外的假设。

维度降维

维度降维可以作为预处理步骤，在进行 聚类、分类或回归 之前执行：

• 降低数据维度，提高可视化能力
• 作为 探索性数据分析（EDA） 工具
• 使计算更高效

降维策略

1. 删除低相关特征
   • 选择高方差特征
2. 特征选择
   • Lasso、Ridge 回归（稍后介绍）
3. 特征构造
   • 用较少的特征表示原始特征，例如 PCA 和 t-SNE

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主成分分析（PCA）

PCA 旨在寻找新的坐标系，使得数据在前几个维度中保留最多的信息。

如何将 2D 数据映射到 1D？

假设有两个特征 x1,x2，可以使用：

$$z={\varphi }_1{x}_1+{\varphi }_2{x}_2$$

推广到多维：

$$z=\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{x}_i$$

目标是选择 变换矩阵 使得投影后的数据方差最大。

主成分

假设数据矩阵 XXX 已去均值：

X=(X1,X2,…,Xp)

第一个主成分是使方差最大的线性组合：

$$Z_1={\varphi }_{11}{X}_1+{\varphi }_{21}{X}_2+...+{\varphi }_{p1}{X}_p$$

其中：

• ϕj1 是 主成分载荷（loadings）
• 载荷需满足归一化条件：

$$\sum _{j=1}^p{\varphi }_{j1}^2=1$$

主成分得分（Principal Component Scores） 投影到主成分空间：

$$z_{i1}={\varphi }_{11}{x}_{i1}+{\varphi }_{21}{x}_{i2}+...+{\varphi }_{p1}{x}_{ip}$$

即：

$$Z_1=(z_{11},z_{21},...,z_{n1})$$

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PCA 的几何解释

• PCA 投影数据到新的坐标轴，点到新轴是 正交投影
• 线性回归则是最小化 残差平方和

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PCA 代码示例

library(GGally)# 计算 PCA
usarrest.pca <- prcomp(USArrests, scale = TRUE, center = TRUE)# 绘制双标图（biplot）
biplot(usarrest.pca, cex = 1, scale = 0)

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变量标准化

在 PCA 中，通常需要：

1. 中心化（centering）：减去均值，使均值变为 0
2. 标准化（scaling）：除以标准差，使标准差变为 1

# 绘制 scree plot
library(gridExtra)
data <- USArrests
var.dat <- apply(data, 2, var)
var.dat <- var.dat %>% t %>% as.data.frame %>% gatherpca.dat <- usarrest.pca$sdev^2/4
ggplot(data.frame(variance = pca.dat * 100, Component = 1:4)) +geom_col(aes(x = Component, y = variance)) +theme_minimal() +labs(y = "Variance explained (%)", x = "Principal Component")

解释：

• Scree plot 显示 每个主成分的方差贡献
• 选择方差最大的 前几个主成分 进行降维

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PCA 与 K-means

• 在 高维数据 上，PCA + K-means 是常见组合
• 先用 PCA 提取 前 M 个主成分，然后进行 K-means 聚类

PCA 与回归

• 当特征高度相关（共线性）时，PCA 可以减少维度并改善模型效果
• 选择 前 M 个主成分 作为回归模型输入

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t-SNE（非线性降维）

t-分布随机邻域嵌入（t-SNE） 是一种 非线性降维方法，专用于 高维数据可视化。

t-SNE 的步骤

1. 计算高维数据点之间的概率分布
   • 计算数据点之间的 相似度概率
2. 在低维空间中建立相似的概率分布
3. 调整低维数据点位置 以最小化 Kullback-Leibler 散度

t-SNE 代码示例

library(Rtsne)
tsne_result <- Rtsne(USArrests, dims = 2, perplexity = 30, verbose = TRUE, max_iter = 500)plot(tsne_result$Y, col = "blue", pch = 16, main = "t-SNE Projection")

解释：

• perplexity 代表邻居数量，通常取 5~50
• t-SNE 适用于 可视化高维数据，但不适合特征选择

t-SNE 的核心思想是：

• 在高维空间 中，定义数据点间的相似度（用高斯分布表示）。
• 在低维空间 中，构造相应的点，使得它们的相似度（用 t 分布表示）与高维空间的相似度尽可能匹配。
• 通过梯度下降不断优化，使低维数据的分布尽可能接近高维数据的邻域结构。

1.1 高维空间中的相似度

在高维空间，t-SNE 计算每个数据点 xi 和 xj 之间的相似度：

$$p_{j|i}=\frac{\exp (-||x_i-x_j|{|}^2/2{\sigma }^2)}{{\sum }_{k\ne i}\exp (-||x_i-x_k|{|}^2/2{\sigma }^2)}$$
其中：

• pj∣i 表示 在高维空间中，点 i 选择点 j 作为邻居的概率（基于高斯分布）。
• σ 是方差（用于调整高维空间中的距离尺度）。

然后，定义对称的相似度：
$$p_{ij}=\frac{p_{j|i}+p_{i|j}}{2}$$

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1.2 低维空间中的相似度

在低维空间，我们希望构造点 yi 和 yj，使得它们的相似度 尽可能接近高维空间的相似度。
但 t-SNE 采用 t 分布（自由度 1） 作为相似度计算方式：

$$q_{ij}=\frac{(1+||y_i-y_j|{|}^2{)}^{-1}}{{\sum }_{k\ne l}(1+||y_k-y_l|{|}^2{)}^{-1}}$$

这里 t 分布的特点是有长尾，允许远距离的数据点仍然有较高的相似度，从而能更好地分开不同类别的数据。

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1.3 目标函数（KL 散度）

t-SNE 通过最小化高维和低维分布之间的 Kullback-Leibler（KL）散度：

$$C=\sum _{i\ne j}{p}_{ij}\log \frac{p_{ij}}{q_{ij}}$$

直观理解：

• 如果 pij 和 qij 很相似，KL 散度就小，表示高维和低维结构匹配得很好。
• 通过梯度下降优化，使得 qij 尽可能接近 pij，从而找到合适的低维嵌入。

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1.4 超参数perplexity

小 perplexity（局部结构）

簇的数量较多，且每个簇的点数较少，数据点更容易被分成许多小团簇。

可能会看到同一个类别的点被划分成多个不相连的子簇（比如 A 类可能被分成 2-3 片）。

大 perplexity（全局结构）

簇的数量较少，每个簇的点数较多，数据点会更倾向于聚合成少数几个大簇。

同一个类别的点更可能集中在一起，而不会被分裂。

图2的簇比较少，就是大家都凑成了一团，而图1一个类里面还有几个小团，说明图1是小perplexity,图2是大perplexity

2. t-SNE 的特点

优点

• 可以捕捉非线性结构，比 PCA 这种线性降维方法更适用于复杂数据。
• 特别适合可视化高维数据，比如在 2D/3D 空间中揭示数据的聚类结构。
• 长尾 t 分布避免了“拥挤”问题，让不同簇的点更容易分开。

缺点

• 计算复杂度高（O(n2)O(n^2)O(n2)），不适合超大规模数据集。
• 无法保留全局结构，只专注于局部相似度，可能会扭曲远距离数据的关系。
• 随机初始化导致不稳定，每次运行可能会有不同的可视化结果。
• 无法用于新数据点，t-SNE 不能直接对新数据进行投影，需要重新训练整个模型。

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3. t-SNE 的应用

• 图像分类（如 MNIST 手写数字分类可视化）
• 自然语言处理（词向量可视化）
• 基因数据分析（可视化不同基因表达模式的聚类）
• 社交网络分析（社区检测）

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4. t-SNE vs PCA

特性	t-SNE	PCA
适用范围	非线性数据	线性数据
目标	维护局部结构	维护全局结构
计算复杂度	高（O(n2)O(n^2)O(n2)）	低（O(n)O(n)O(n)）
适合可视化	是	一般
是否易受参数影响	是	否

多维缩放（MDS）

• MDS 通过 保持数据点间的距离关系 将数据映射到低维空间
• 适用于 距离度量重要 的情况，如 地理数据分析

mds_result <- cmdscale(dist(USArrests), k = 2)
plot(mds_result, col = "red", pch = 16, main = "MDS Projection")

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总结

方法	线性/非线性	适用场景
PCA	线性	降维、特征提取、可视化
t-SNE	非线性	可视化高维数据
MDS	非线性	维持距离结构
Lasso	线性	变量选择
K-means	非线性	聚类分析

选择降维方法

• PCA 适用于 特征相关性高 的数据
• t-SNE 适用于 可视化复杂数据结构
• MDS 适用于 保持距离关系 的任务