LDPC码的BP译码算法（一）

        LDPC码的译码算法有两大类：硬判决译码算法和软判决译码算法。

软判决译码算法由于在译码过程中使用了软值信息，所以在译码性能方面，软判决译码算法相较于硬判决译码算法来说更具有优势。

        软判决译码算法中目前最为常用，最为经典的译码算法为BP译码算法。

        BP译码算法的主要原理是将译码的软值信息通过变量节点和校验节点之间的连线在变量节点和信息节点之间不断进行迭代传播，当译码出来的信息满足所有的校验方程或者迭代次数到达预设的最大迭代次数时，停止迭代。

BP译码算法主要分为概率域BP译码算法和对数域BP译码算法。

        概率域BP译码算法在变量节点和校验节点之间传递的是概率信息，在进行计算时涉及到大量的乘法运算，复杂度较高。

        而对数域BP译码算法在变量节点和校验节点之间传递的是对数似然比信息，将概率域信息通过对数似然操作转换为对数似然比信息，将概率信息计算时涉及到的乘法运算转换为加法运算，大大减少了译码的复杂度。

        由于对数域BP译码算法在计算时只涉及到加法和乘法，所以又称为和积算法，其相较于概率域BP译码算法具有复杂度较低的特点，目前在工程中得到了广泛的应用。

1 和积译码算法

        这里以AWGN 信道为例，假设二元LDPC码的码长为n ，信息位有k位，校验矩阵为H ，发送码字 ，经过BPSK 调制后，通过的规则映射到序列。

        将调制后的序列x通过AWGN 信道，接收到的为在调制序列x的基础上叠加上信道噪声的序列，即，其中为接收机接收到的序列，为AWGN 信道中均值为0，方差为的加性高斯白噪声。
发送码字中码元的取值为0 或1，经过BPSK调制，发送码字中元素0 通过被映射到1，发送码字中元素1 通过被映射到−1 ，所以对于接收码字的后验概率由条件概率得

将与作比得到

因为对于发送码字来说，与的概率相同，都为0.5。则有

        因为发送序列在AWGN 信道中传输，噪声为均值为0，方差为的加性高斯白噪声，所以接收序列的似然概率为

        则定义对数似然比为

        当对数似然比大于0 时，意味着发送比特为0 的似然概率要大于发送比特为1 的似然概率，即发送比特为0 的可能性要更大，反之意味着发送比特为1 的似然概率要大于发送比特ix 为0 的似然概率，即发送比特ix 为1 的可能性要更大，所以对数似然比本质上反映了发送码字比特置信度的大小，的符号表示对接收序列的硬判决，的绝对值大小反映了当前比特取值的可信程度。
对于所有的，定义变量节点向校验节点传输的对数似然比信息为，校验节点 向变量节点传输的对数似然比信息为，与变量节点相连的校验节点的集合为 ，以变量节点相连但不包括校验节点 的校验节点的集合为，与校验节点相连的变量节点的集合称为，与校验节点相连但不包括变量节点的变量节点的集合称为。