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机器学习（Machine Learning）

简要声明

基于吴恩达教授(Andrew Ng)课程视频
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一、逻辑回归的基本原理

二、决策边界

三、代价函数

平方误差代价函数

在逻辑回归中，如果我们直接使用线性回归的平方误差代价函数：

$$J(\overrightarrow{w},b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{1}{2}(f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$

其中，$f_{\overrightarrow{w},b}(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{x}+b$ 是线性回归模型的输出。

然而，对于逻辑回归，这种代价函数可能会导致非凸问题，使得梯度下降算法难以收敛到全局最小值。

线性回归

并不像线性回归的“汤碗”那么光滑

逻辑回归的损失函数

为了解决这个问题，逻辑回归采用了不同的损失函数。对于单个训练样本 $({\overrightarrow{x}}^{(i)},y^{(i)})$，逻辑回归的损失函数定义为：

$$L(f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}),y^{(i)})=\{\begin{array}{ll}-log(f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}))& \text{if }{y}^{(i)}=1\\ -log(1-f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}))& \text{if }{y}^{(i)}=0\end{array}$$

其中，$f_{\overrightarrow{w},b}(\overrightarrow{x})=\frac{1}{1+e^{-(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{x}+b)}}$ 是逻辑回归模型的输出。

损失函数的性质

• 当 $y^{(i)}=1$ 时：

  • 如果 $f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)})\to 1$，损失 $\to 0$
  • 如果 $f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)})\to 0$，损失 $\to \infty$

• 当 $y^{(i)}=0$ 时：

  • 如果 $f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)})\to 0$，损失 $\to 0$
  • 如果 $f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)})\to 1$，损失 $\to \infty$

这种损失函数的设计使得模型在预测错误时付出更大的代价，从而激励模型尽可能准确地预测。

逻辑回归的代价函数

逻辑回归的代价函数是所有训练样本损失的平均值：

$$J(\overrightarrow{w},b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L(f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}),y^{(i)})$$

展开后为：

$$J(\overrightarrow{w},b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\{\begin{array}{ll}-log(f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}))& \text{if }{y}^{(i)}=1\\ -log(1-f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}))& \text{if }{y}^{(i)}=0\end{array}$$

代价函数的凸性

逻辑回归的代价函数是凸的，这意味着它只有一个全局最小值，梯度下降算法可以保证收敛到这个全局最小值。

相比之下，平方误差代价函数在逻辑回归中可能会导致非凸问题，使得梯度下降算法陷入局部最小值。

简化的损失函数

逻辑回归的损失函数可以简化为一个统一的表达式：

$$L(f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}),y^{(i)})=-y^{(i)}\log (f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}))-(1-y^{(i)})\log (1-f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}))$$

这个表达式结合了两种情况：

• 当 $y^{(i)}=1$ 时，损失函数为 $-\log (f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}))$
• 当 $y^{(i)}=0$ 时，损失函数为 $-\log (1-f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}))$

简化的代价函数

逻辑回归的代价函数也可以相应地简化为：

$$J(\overrightarrow{w},b)=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left[y^{(i)}\log (f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}))+(1-y^{(i)})\log (1-f_{\overrightarrow{w},b}({\overrightarrow{x}}^{(i)}))\right]$$

这个代价函数实际上是对数似然函数的负数，因此最小化这个代价函数等价于最大化似然函数。这种方法被称为 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）。

逻辑回归采用了不同于线性回归的损失函数，以适应分类问题的特点。其代价函数是凸的，保证了梯度下降算法可以收敛到全局最小值。通过最小化这个代价函数，我们可以找到最优的模型参数，使模型在训练数据上的表现最佳。

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