n*n矩阵方程组Ax=b，使用Eigen矩阵库常用解法介绍
在使用 Eigen 矩阵库求解n×n 线性方程组 Ax=b 时，有多种分解方法可供选择。不同的方法在精度、稳定性、速度和适用条件上各有优劣。
n×n 矩阵方程组 Ax = b 的 Eigen 常用解法（适用于 Microsoft Word）
在使用 Eigen C++ 矩阵库求解线性方程组
A𝐱 = 𝐛
其中 A 是 n×n 矩阵，𝐱 和 𝐛 是 n 维向量，有多种数值方法可供选择。以下是常用分解方法的对比与使用方式。
1. SVD 分解（最精确、最稳健）
- 适用条件：任意矩阵（包括奇异、病态、秩亏）
- 优点：数值最稳定，精度最高
- 缺点：计算较慢（O(n³)）
Eigen 代码：x = A.bdcSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(b);
数学原理：
对矩阵 A 进行奇异值分解：
A = UΣVᵀ
则解为：
𝐱 = VΣ⁻¹Uᵀ𝐛
2. 列主元 QR 分解
- 适用条件：满秩或接近满秩矩阵
- 优点：精度高，稳定性好，速度较快
- 缺点：比无主元 QR 稍慢
Eigen 代码：x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);
数学原理：
A = QR（带列主元置换 P）
P⁻¹A = QR
解：𝐱 = R⁻¹Qᵀ𝐛
3. 普通 QR 分解（无主元）
- 适用条件：非病态满秩矩阵
- 优点：速度快
- 缺点：无主元，数值稳定性较差
Eigen 代码：x = A.householderQr().solve(b);
4. LU 分解（带全主元）
- 适用条件：可逆矩阵
- 优点：中等速度
- 缺点：不如 QR/SVD 稳定
Eigen 代码：x = A.fullPivLu().solve(b);
5. LDLᵀ 分解（对称矩阵专用）
- 适用条件：对称矩阵（正定或半正定）
- 优点：速度快，内存少，专为对称矩阵优化
- 缺点：仅适用于对称矩阵
Eigen 代码：x = A.ldlt().solve(b);
6. LLT 分解（Cholesky，正定专用）
- 适用条件：对称正定矩阵
- 优点：最快，精度高
- 缺点：仅适用于正定矩阵，否则会失败
Eigen 代码：x = A.llt().solve(b);
选择建议（决策树）
- 是否对称正定？ → 使用 LLT 或 LDLT
- 是否对称但可能奇异？ → 使用 LDLT
- 是否病态或条件数大？ → 使用 SVD
- 一般情况，追求精度？ → 使用 colPivHouseholderQr
- 追求速度且矩阵良好？ → 使用 householderQr