【LeetCode 每日一题】3021. Alice 和 Bob 玩鲜花游戏

Problem: 3021. Alice 和 Bob 玩鲜花游戏

整体思路

该算法的思路非常直接，是一种纯粹的 数学组合分析 方法，而非模拟或搜索。

1. 问题抽象：

   • 将问题从具体的游戏场景抽象为：在两个整数集合 {1, 2, ..., n} 和 {1, 2, ..., m} 中，分别取一个数 p 和 q，求满足 p 和 q 奇偶性不同（即 p 奇 q 偶，或 p 偶 q 奇）的数对 (p, q) 的总数量。
   • 为什么是奇偶性？ p + q 为奇数时，先手（或某个特定玩家）获胜。p + q 为奇数的充要条件是 p 和 q 一个是奇数，一个是偶数。

2. 分类计数：

   • 算法首先将两个数字范围内的数按奇偶性进行分类计数。
   • 对于范围 [1, n]：
     • 偶数个数 evenP：通过整除 n / 2 计算。
     • 奇数个数 oddP：通过总数 n 减去偶数个数 n - evenP 计算。
   • 对于范围 [1, m]：
     • 偶数个数 evenQ：通过整除 m / 2 计算。
     • 奇数个数 oddQ：通过总数 m 减去偶数个数 m - evenQ 计算。

3. 应用乘法原理：

   • 问题现在分解为两个互斥的情况：
     a. 情况一：玩家 P 选偶数，玩家 Q 选奇数。
     • P 选偶数有 evenP 种选择。
     • Q 选奇数有 oddQ 种选择。
     • 根据乘法原理，这种情况下的组合总数为 evenP * oddQ。
       b. 情况二：玩家 P 选奇数，玩家 Q 选偶数。
     • P 选奇数有 oddP 种选择。
     • Q 选偶数有 evenQ 种选择。
     • 根据乘法原理，这种情况下的组合总数为 oddP * evenQ。

4. 应用加法原理：

   • 最终的总有效组合数是上述两种互斥情况的总和。
   • 因此，最终结果为 evenP * oddQ + oddP * evenQ。

5. 数据类型：

   • 代码使用了 long 类型来存储计数结果和最终答案，这是一个很好的实践，可以防止当 n 和 m 较大时，乘积结果超出 int 的表示范围而导致的溢出问题。

完整代码

class Solution {/*** 计算一个组合游戏中的有效组合数。* 问题背景：两个玩家分别从 [1, n] 和 [1, m] 中选择一个数字。* 获胜条件（或有效组合）是两个数字之和为奇数。* @param n 第一个数字范围的上限* @param m 第二个数字范围的上限* @return 有效组合的总数*/public long flowerGame(int n, int m) {// 计算范围 [1, n] 中偶数和奇数的个数// 偶数个数可以直接通过整除得到long evenP = n / 2;// 奇数个数等于总数减去偶数个数long oddP = n - evenP;// 计算范围 [1, m] 中偶数和奇数的个数long evenQ = m / 2;long oddQ = m - evenQ;// 应用组合数学的乘法原理和加法原理// 总的有效组合数 = (n中的偶数 * m中的奇数) + (m中的偶数 * n中的奇数)// 这是因为只有 "偶+奇" 或 "奇+偶" 的结果才是奇数。return evenP * oddQ + evenQ * oddP;}
}

时空复杂度

时间复杂度：O(1)

1. 操作分析：
   • 代码中执行的所有操作都是基本的算术运算：两次除法、两次减法、两次乘法和一次加法。
   • 这些操作的执行时间是固定的，不依赖于输入 n 和 m 的大小。

综合分析：
算法的执行时间是一个常数。因此，其时间复杂度为 O(1)。

空间复杂度：O(1)

1. 存储分析：
   • 算法在执行过程中只使用了几个 long 类型的变量（evenP, oddP, evenQ, oddQ）来存储中间计算结果。
   • 这些变量的数量是固定的，不随输入 n 和 m 的大小而改变。

综合分析：
算法没有使用任何与输入规模成比例的额外数据结构。因此，其额外辅助空间复杂度为 O(1)。