算法训练（leetcode）二刷第三十七天 | *300. 最长递增子序列、674. 最长连续递增序列、*718. 最长重复子数组

*300. 最长递增子序列

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dp数组含义：
dp[i]表示以nums[i]结尾的最长递增子序列长度，即以nums[i]结尾的子序列的长度。
j从0向i遍历，遇到num[i] > num[j], dp[i] = max(dp[j]+1, dp[i]);

时间复杂度： $O(n^2)$
空间复杂度： $O(n)$

// java
class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int len = nums.length; 
        int[] dp = new int[len];
        int result = 1;
        // for(int i=0; i<len; i++) dp[i] = 1;
        Arrays.fill(dp, 1);
        for(int i=1; i<len; i++){
            for(int j=0; j<i; j++){
                if(nums[i] > nums[j]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
            }
            if(result < dp[i]) result = dp[i];
        }
        return result;
    }
}

674. 最长连续递增序列

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基础解法（非动规）

求最长连续递增子序列，统计子序列记录最长即可。在递增中断时，计数器要置为1而非0，因为下一个子序列从当前元素开始。

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(n)$

// java
class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        int result = 1;
        int cnt = 1;
        int len = nums.length;
        for(int i=1; i<len; i++){
            if(nums[i]>nums[i-1]) {
                cnt++;
                if(cnt > result) result = cnt;
            }
            else cnt = 1; // 计数器置为1
            
        }
        return result;
    }
}

动态规划

dp数组含义：
dp[i]表示以nums[i]结尾的最长连续递增子序列的长度。

初始化：
每个元素本身就是一个连续递增子序列，因此初始化为1，即dp数组均初始化为1。

// java
class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {

        int len = nums.length;
        int[] dp = new int[len];
        Arrays.fill(dp, 1);
        int result = 1;
        for(int i=1; i<len; i++){
            if(nums[i] > nums[i-1]) dp[i] = dp[i-1]+1;
            result = Math.max(result, dp[i]);
        }
        return result;
        
    }
}

718. 最长重复子数组

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dp数组含义：
dp[i][j]表示 以nums1[i-1]结尾的子数组A 和以 以nums2[j-1]结尾的子数组B 的最长重复子数组长度。

这里为什么要用i-1和j-1？
因为dp[i][j]的更新依赖于dp[i-1][j-1]的值。也就是说，在nums1[i-1]和nums2[j-1]相等时，更新对应位置长度需要依赖nums1[i-2]和nums2[j-2]的最长重复子数组长度。
以题目示例1举例：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]

• 当nums1[2] == nums2[0]时，当前位置的最长重复子数组长度依赖于前面的匹配情况，前面相等的串长度为0，因此这里dp[3][1]是1。
• 当nums1[3] == nums2[1]时，逻辑同上，dp[4][2]的更新依赖于前面的匹配情况，前面有一个元素匹配到，因此这里dp[4][2] = dp[3][1]+1 = 2
• 当nums1[4] == nums2[2]时，逻辑同上，dp[5][3]的更新依赖于前面的匹配情况，前面有两个元素匹配到，因此这里dp[5][3] = dp[4][2]+1 = 3

到这里就可以总结出状态转移方程，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
由于这里使用了i-1和j-1，在i和j为0时会越界。 因此整体将dp数组下标后移一位，来解决这一问题。（也可单独处理i和j为0的情况，较复杂）

时间复杂度： $O(n^2)$
空间复杂度： $O(n)$

// java
class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len1 = nums1.length;
        int len2 = nums2.length;
        
        int[][] dp = new int[len1+1][len2+1];

        int result  = 0;
        if(nums1[0] == nums2[0]) dp[1][1] = 1;
        for (int i=1; i<=len1; i++){
            for(int j=1; j<=len2; j++){
                if(nums1[i-1] == nums2[j-1]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                }
                result = Math.max(result, dp[i][j]);
                // System.out.print(dp[i][j] + " ");
            }
            // System.out.println();
        }
        return result;
    }
}

滚动数组

注意：
1、思路同上，只是每一层的状态是从上一层拷贝下来的，因此在遍历nums2时要从后向前，防止将前面元素在上一层的状态覆盖
2、当遇到元素不相同是要将对应位置赋值0.

// java
class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len1 = nums1.length;
        int len2 = nums2.length;
        
        int[] dp = new int[len2+1];

        int result  = 0;
        for (int i=1; i<=len1; i++){
            for(int j=len2; j>=1; j--){
                if(nums1[i-1] == nums2[j-1]){
                    dp[j] = dp[j-1]+1;
                } else dp[j] = 0; // 注意这里不相等的时候要有赋0的操作
                result = Math.max(result, dp[j]);
                
            }
            
        }
        return result;
    }
}