最小曲面问题的欧拉-拉格朗日方程 / 曲面极值问题的变分法推导

题目

问题 4. 曲面的面积为

$$S={\iint }_D\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}dxdy$$ (5)

其中 $$z=u(x,y)$$, $$(x,y)\in D$$ 是曲面的方程。

(a) 写出最小面积曲面的欧拉-拉格朗日偏微分方程（边界条件为 $$u(x,y)=\varphi (x,y)$$ 当 $$(x,y)\in \Gamma$$，其中 $$\Gamma$$ 是 $$D$$ 的边界）。

(b) 如果势能为

$$E=kS-{\iint }_{D}fudxdy$$ (6)

其中 $$S$$ 由 (5) 定义，$$f$$ 是外力的面密度。写出最小能量曲面的欧拉-拉格朗日偏微分方程。

解题过程

部分 (a)

我们需要最小化曲面面积泛函：
$$I[u]={\iint }_D\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}dxdy$$
定义被积函数 $$F=\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}$$。由于 $$F$$ 不显式依赖于 $$u$$，即 $$\frac{\partial F}{\partial u}=0$$，欧拉-拉格朗日方程为：
$$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial u_x}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial u_y}\right)=0$$
计算偏导数：
$$\frac{\partial F}{\partial u_x}=\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}},\frac{\partial F}{\partial u_y}=\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}$$
因此，欧拉-拉格朗日方程变为：
$$-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)=0$$
或等价地：
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)=0$$
这是最小面积曲面的欧拉-拉格朗日 PDE。边界条件为 $$u(x,y)=\varphi (x,y)$$ on $$\Gamma$$.

部分 (b)

势能泛函为：
$$E=kS-{\iint }_{D}fudxdy={\iint }_D\left[k\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}-fu\right]dxdy$$
定义被积函数 $$F=k\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}-fu$$。欧拉-拉格朗日方程为：
$$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial u_x}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial u_y}\right)=0$$
计算偏导数：
$$\frac{\partial F}{\partial u}=-f$$
$$\frac{\partial F}{\partial u_x}=k\cdot \frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}},\frac{\partial F}{\partial u_y}=k\cdot \frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}$$
因此，
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial u_x}\right)=k\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right),\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial u_y}\right)=k\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)$$
代入欧拉-拉格朗日方程：
$$-f-k\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)-k\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)=0$$
整理得：
$$k\left[\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)\right]=-f$$
或
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)=-\frac{f}{k}$$
这是最小能量曲面的欧拉-拉格朗日 PDE。边界条件同样为 $$u(x,y)=\varphi (x,y)$$ on $$\Gamma$$.

答案

(a) 最小面积曲面的欧拉-拉格朗日 PDE 为：
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)=0$$

(b) 最小能量曲面的欧拉-拉格朗日 PDE 为：
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right)=-\frac{f}{k}$$