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【机器学习】梯度下降法及使用一元二次方程模拟使用梯度下降法的代码实现

news 来源：原创 2025/5/22 21:23:13

梯度下降法

一、摘要
二、梯度下降法
三、线性方程中使用梯度下降法

一、摘要

文本主要讲述了梯度下降法作为机器学习中的一种优化方法，用于最小化损失函数。它并非直接解决机器学习问题，而是作为求解最优参数的工具。通过二维坐标图直观展示了梯度下降法的原理，即通过调整参数值来逐步减小损失函数值，直至找到最小值点。同时，强调了导数在梯度下降中的作用，即指示了损失函数随参数变化的趋势，从而指导参数调整的方向。

二、梯度下降法

概述

1.梯度下降法是机器学习领域的一种重要方法，用于优化目标函数。
2.梯度下降法用于最小化损失函数，而梯度上升法用于最大化效用函数。
3.梯度下降法是解决许多机器学习问题的常用工具，尤其是那些无法直接求解数学解的问题。
原理

1.梯度下降法通过在损失函数上搜索最优解来最小化损失函数。
2.在二维坐标平面上，损失函数的最小值对应于参数θ的某个值。
3.通过计算损失函数对参数θ的导数，确定损失函数增大的方向，并沿其负方向移动。
4.移动的步长称为学习率α，其取值影响算法收敛的速度。

图中内容是关于机器学习中“学习率（η）”的知识点介绍：
1. 学习率（η）是在机器学习优化算法，尤其是梯度下降法中的一个超参数。
2. 它控制着每次参数更新的步长。如果学习率取值较小，算法会更谨慎地更新参数，虽然能保证算法的稳定性，但会使得收敛到最优解的速度变慢，需要更多的训练时间和计算资源。
3. 而如果学习率取值过大，参数更新的步长就会很大，这可能导致算法在搜索最优解的过程中“跳过”最优解，无法收敛，甚至出现发散的情况，也就得不到最优解。
4. 并不是所有函数都有唯一的极值点：

解决办法：
1. 多次运行，随机化初始点
2. 梯度下降法的初始点也是一个超参数
示例

1.通过示例说明梯度下降法的具体步骤，包括计算导数、确定移动方向和步长。
2.梯度下降法的过程类似于球体在山谷中的滚落过程，直到到达谷底。
3.学习率α的取值过大或过小都会影响算法的性能，甚至导致无法找到最优解。
注意事项

1.梯度下降法可能陷入局部最优解，尤其是面对复杂函数时。
2.初始点的选择对梯度下降法的结果有重要影响，不同的初始点可能导致不同的最优解。
3.对于具有多个局部最优解的函数，多次运行梯度下降法并比较结果可以有助于找到更好的解。

三、线性方程中使用梯度下降法

线性回归中使用梯度下降法的目标：使 $\sum_{i = 1}^{m}(y^{(i)} - \hat{y}^{(i)})^{2}$ 损失函数值尽可能小。
线性回归法的损失函数具有唯一的最优解 。

代码实现：

导入相关依赖包并定义好损失函数方程且绘制出其图像：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as  plt
# 定义损失函数中的x：取值[-1,6]，样本数：141
plot_x = np.linspace(-1,6,141)
# 定义损失函数中的y：二元一次方程y=(x - 2.5)**2 -1,其中2.5是自定义的，可取任意一个数
plot_y = (plot_x - 2.5)**2 -1 
# 绘制当前损失函数在二维平面上的图像
plt.plot(plot_x,plot_y)
plt.show()

执行结果：
在这里插入图片描述

定义求损失函数的导函数和求损失函数值：

# 定义求导函数：得到梯度gradient值
def dJ(theta):
    return 2*(theta - 2.5)
# 定义J对于theta的损失函数
def J(theta):
    try:
        return (theta-2.5)**2 - 1.
    except:
        return float('inf') # 返回float最大值

定义求损失函数最小值函数：

# 定义求损失函数最小值函数
# p_eta: 学习率，控制每次参数更新的步长，默认值为0.1
# p_epsilon: 收敛阈值，当两次迭代的损失函数差值小于该值时，认为算法收敛，默认值为1e-8
# p_theta: 参数的初始值，默认值为0.0
# n_iters：用于控制循环的参数，当无法找到最优解时，就终止，默认为1e4(10的4次方)
def minJ(p_eta=0.1,p_epsilon=1e-8,n_iters=1e4,p_theta=0.0):
    # 定义局部变量，将传入的参数赋值给新的变量，方便后续操作
    eta = p_eta
    epsilon = p_epsilon
    theta = p_theta
    i_itera = 0
    
    while i_itera < n_iters:
        # 根据传入的theta计算出梯度，这里假设dJ函数已经定义好，用于计算梯度
        gradient = dJ(theta)
        # 将上一次的theta赋值给一个变量，用于存储上一次theta的值，以便后续比较损失函数的变化
        last_theta = theta
        # 重新计算当前的theta值，根据梯度下降的公式，让theta向梯度负方向前进一步
        theta = theta - eta * gradient

        # 计算上一次和当前的损失函数的差值的绝对值是否小于Epsilon
        # 如果小于，则说明已经接近损失函数的最小值，认为算法收敛，退出循环
        if(abs(J(theta) - J(last_theta)) < epsilon):
            break
        i_itera += 1
        
    return theta, J(theta)

执行结果：
在这里插入图片描述

定义一个测试函数minJViewThetaChange，用于可视化损失函数的中theta沿着梯度负方向前进的二维平面图上的轨迹：

# 定义一个测试函数，用于可视化损失函数的中theta沿着梯度负方向前进的二维平面图上的轨迹
# p_eta: 学习率，控制每次参数更新的步长，默认值为0.1
# p_epsilon: 收敛阈值，当两次迭代的损失函数差值小于该值时，认为算法收敛，默认值为1e-8
# p_theta: 参数的初始值，默认值为0.0
# n_iters：用于控制循环的参数，当无法找到最优解时，就终止，默认为1e4(10的4次方)
def minJViewThetaChange(p_eta=0.1,p_epsilon=1e-8,n_iters=1e4,p_theta=0.0,p_plot=plt):
    # 定义局部变量，将传入的参数赋值给新的变量，方便后续操作
    eta = p_eta
    epsilon = p_epsilon
    theta = p_theta
    # 定义用于存储theta每次计算得到的值，用于绘制图片
    theta_history = [theta]
    # 迭代次数
    i_itera = 0
    
    while i_itera < n_iters:
        # 根据传入的theta计算出梯度，这里假设dJ函数已经定义好，用于计算梯度
        gradient = dJ(theta)
        # 将上一次的theta赋值给一个变量，用于存储上一次theta的值，以便后续比较损失函数的变化
        last_theta = theta
        # 重新计算当前的theta值，根据梯度下降的公式，让theta向梯度负方向前进一步
        theta = theta - eta * gradient
        # 将每次计算得到的theta值放入theta_history历史数组当中
        theta_history.append(theta)

        # 计算上一次和当前的损失函数的差值的绝对值是否小于Epsilon
        # 如果小于，则说明已经接近损失函数的最小值，认为算法收敛，退出循环
        if(abs(J(theta) - J(last_theta)) < epsilon):
            break
        i_itera += 1
    print("theta=",theta)
    print("J(theta)=",J(theta))
    print("theta_history前100个：",theta_history[:100])
    print("theta_history总长度：",len(theta_history))
    # 绘制x,y值，即绘制损失函数曲线图
    p_plot.plot(plot_x,J(plot_x))
    # 绘制每个theta沿着gradient负方向前进时的曲线
    p_plot.plot(np.array(theta_history),J(np.array(theta_history)),color='r',marker='+')
    # 将曲线显示出来
    p_plot.show()

执行结果：
在这里插入图片描述

测试1：给定一个比较小的eta值（0.01），看看学习率的变化轨迹：
测试2：给定一个更小的eta值（0.001），看看学习率的变化轨迹：
测试3：给定一个比较大的eta值（0.8），看看学习率的变化轨迹：
测试4：给定一个更大的eta值，看看学习率的变化轨迹：

此时，如果调用minJ函数，得到的theta和损失函数的值都是nan：

到此，我们可以看出来，学习率eta不能大小，也不能太大，否则将无法使得损失函数收敛。