【01背包问题变体】P1282 多米诺骨牌

题目

P1282 多米诺骨牌

分析

题目分析

目标：通过旋转多米诺骨牌，使上下两行点数之差的绝对值最小，在最小差值的前提下旋转次数最少。

关键信息：

• 每个骨牌可以旋转180°（上下互换）
• 旋转次数要最少
• 最终差值要最小

思考过程

第一步：识别问题类型

这是一个双目标优化问题：

1. 主要目标：最小化差值绝对值
2. 次要目标：在最小差值下最小化旋转次数

第二步：分析决策过程

对于每个多米诺骨牌，我们有两个选择：

• 不旋转：保持原来的上下关系
• 旋转：上下互换

第三步：思考状态表示

尝试1：简单的线性状态

f[i] = 前i个骨牌的最小旋转次数

问题：无法表示当前的差值状态，不知道旋转后差值是多少。

尝试2：二维状态

f[i][j] = 前i个骨牌，旋转j次的最小差值

问题：这样设计无法同时优化两个目标。

尝试3：正确的二维状态

f[i][j] = 前i个骨牌，当前差值为j时的最小旋转次数

为什么这样设计？

• i：处理到第几个骨牌
• j：当前的差值（可以是负数）
• 值：达到这个差值需要的最小旋转次数

第四步：分析状态转移

对于第i个骨牌，设其上下点数分别为a[i]和b[i]：

情况1：不旋转

• 差值贡献：a[i] - b[i]
• 如果前i-1个骨牌的差值是j - (a[i] - b[i])，那么加上第i个骨牌后差值变成j
• 转移：f[i-1][j - (a[i] - b[i])] → f[i][j]

情况2：旋转

• 差值贡献：b[i] - a[i] = -(a[i] - b[i])
• 如果前i-1个骨牌的差值是j - (b[i] - a[i])，那么加上第i个骨牌后差值变成j
• 转移：f[i-1][j - (b[i] - a[i])] + 1 → f[i][j]

简化表示

设diff[i] = a[i] - b[i]：

• 不旋转：f[i-1][j - diff[i]] → f[i][j]
• 旋转：f[i-1][j + diff[i]] + 1 → f[i][j]

第五步：边界条件

f[0][0] = 0  // 0个骨牌，差值为0，旋转次数为0
f[0][j] = INF (j ≠ 0)  // 0个骨牌不可能有非零差值

第六步：答案提取

由于我们要最小化差值的绝对值，应该从差值0开始搜索：

for(int j = 0; j <= max_diff; j++) {if(f[n][j] != INF || f[n][-j] != INF) {return min(f[n][j], f[n][-j]);}
}

关键思考

1. 为什么用差值作为状态维度？

• 差值直接反映了我们的优化目标
• 通过记录所有可能的差值，我们可以在最后选择最小的

2. 为什么用旋转次数作为状态值？

• 旋转次数是我们的次要优化目标
• 在相同差值下，我们选择旋转次数最少的方案

3. 为什么这样设计能同时优化两个目标？

• 通过遍历所有可能的差值，我们找到了最小可达差值
• 对于每个差值，我们记录了达到该差值的最小旋转次数
• 因此自然实现了"最小差值下的最小旋转次数"

设计思路总结

1. 识别双目标：最小化差值 + 最小化旋转次数
2. 确定主次：差值为主，旋转次数为次
3. 状态设计：用差值作为状态维度，旋转次数作为状态值
4. 转移分析：考虑每个骨牌的两种选择
5. 答案提取：从最小差值开始搜索

这种设计思路的核心是：将次要目标作为状态值，将主要目标作为状态维度，这样可以在DP过程中同时优化两个目标。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>using namespace std;const int N = 1010, M = 1e4 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;int n, a[N], f[N][M];int m = 5000;int main()
{cin >> n;for(int i=1;i<=n;i++){int x,y; cin >> x >> y;a[i] = x - y;}memset(f,0x3f,sizeof f);f[0][0+m] = 0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=-m;j<=m;j++){f[i][j+m] = min(f[i-1][j-a[i]+m],f[i-1][j+a[i]+m]+1);}}int ret = INF;for(int j=0;j<=m;j++){ret = min(f[n][j+m],f[n][-j+m]);if(ret != INF) break;}cout << ret;return 0;
}