机器学习数学基础：34.点二列

点二列相关教程

一、点二列相关的定义

点二列相关是一种统计方法，用于衡量两个变量之间的相关程度。在这种相关分析中，一个变量是正态连续性变量，取值可以是连续的数值，比如身高、体重、考试分数等；另一个是真正的二分名义变量，其两个类别是天然存在、相互独立的，不能再细分，像性别（男/女）、是否吸烟（是/否）、抛硬币的结果（正面/反面）等。

二、适用场景

点二列相关常用于研究天然二分变量与连续变量之间的关系。例如在教育领域，分析学生的性别（二分变量）与学习成绩（连续变量）之间的联系，看男生和女生在成绩上是否存在差异；在医学研究中，探讨患者是否患病（二分变量）与某项生理指标数值（连续变量）的相关性，以辅助疾病诊断和研究；在市场调研里，了解消费者是否购买某产品（二分变量）和他们的收入水平（连续变量）之间的关系，为营销策略提供参考。

三、计算公式解读

点二列相关系数的计算公式为$R=\frac{{\overline{X}}_p-{\overline{X}}_q}{\sigma }\times \sqrt{pq}$，公式中各参数含义如下：

• $p$和$q$：$p$表示二分变量中某一类别频数的比率，$q$表示二分变量中另一类别频数的比率，并且$p+q=1$。比如在研究性别的例子中，如果男生人数占总人数的$40\%$，那么$p=0.4$，$q=1-0.4=0.6$。
• ${\overline{X}}_p$和${\overline{X}}_q$：${\overline{X}}_p$是与二分变量中$p$类别相对应的连续变量的平均数；${\overline{X}}_q$是与二分变量中$q$类别相对应的连续变量的平均数。例如，${\overline{X}}_p$可以是男生的平均考试成绩，${\overline{X}}_q$是女生的平均考试成绩。
• $\sigma$：表示连续变量的标准差，它衡量的是连续变量的离散程度，也就是数据的分散情况。标准差越大，说明数据越分散；标准差越小，数据越集中。

点二列相关系数$R$的取值范围在$-1$到$1$之间。当$R$接近$1$时，意味着两个变量之间存在很强的正相关关系，即随着二分变量中某一类别的出现，连续变量的值倾向于增大；当$R$接近$-1$时，表明存在很强的负相关关系，即随着二分变量中某一类别的出现，连续变量的值倾向于减小；当$R$接近$0$时，则表示两个变量之间的相关性很弱，几乎没有关联。

四、计算步骤实例

假设我们要研究某学校学生是否住校（二分变量）与英语成绩（连续变量）之间的关系，具体步骤如下：

（一）数据收集

随机选取该校80名学生作为样本，记录他们是否住校（住校记为1，不住校记为0 ）以及英语考试成绩（满分100分）。经检验，英语成绩这一连续变量近似正态分布。

（二）数据整理与参数计算

1. 统计发现住校的学生有30人，不住校的学生有50人。则$p=\frac{30}{80}=0.375$，$q=1-0.375=0.625$。
2. 计算住校学生的英语平均成绩${\overline{X}}_p$，假设为80分；不住校学生的英语平均成绩${\overline{X}}_q$，假设为70分。
3. 计算这80名学生英语成绩的标准差$\sigma$，假设为12分。

（三）计算点二列相关系数$R$

将上述值代入公式$R=\frac{{\overline{X}}_p-{\overline{X}}_q}{\sigma }\times \sqrt{pq}$可得：
$$\begin{array}{rl}R& =\frac{80-70}{12}\times \sqrt{0.375\times 0.625}\\ & =\frac{10}{12}\times \sqrt{0.234375}\\ & \approx \frac{10}{12}\times 0.484\\ & \approx 0.40\end{array}$$

（四）结果分析

计算出的点二列相关系数约为$0.40$，说明在这个样本中，学生是否住校与英语成绩之间存在一定的正相关关系，即住校学生的英语成绩相对较高。但相关系数并不是特别高，意味着是否住校虽然对英语成绩有影响，但可能不是唯一的决定因素。

五、注意事项

1. 变量性质：务必确保一个变量是真正的二分名义变量，另一个是正态连续变量，否则点二列相关可能不适用。
2. 样本代表性：样本要具有足够的代表性，样本容量不能过小，这样计算出的相关系数才更可靠，一般建议样本量在30以上。
3. 相关与因果：点二列相关系数只能表明两个变量之间的关联程度，不能直接说明它们之间存在因果关系。比如前面例子中发现住校和英语成绩相关，但不能就此认定住校是英语成绩好的原因。