单调栈与单调队列

单调栈与单调队列

你说我都会树链剖分了，咋还不会单调栈与单调队列啊？

单调栈

问题类型：对于一个长度为 $n$ 的序列 $a$，对于 $\forall 1\le i\le n$，求 $[a_1\sim a_{i-1}]$ 或 $[a_{i+1}\sim a_n]$ 的最靠近 $i$ 且比 $a_i$ 大/小的问题。

以在 $i$ 左边的区间为例。

不过说最值问题可以用线段树、ST 表、树状数组之类的，为啥要学这个嘞？

• 实现简单
• 速度较快，毕竟线段树、树状数组常数都挺大的
• 不会其他的：

那么我们来看看原理。

不妨先手搓一个样例玩玩。

假设数组为 $[1,2,3,4,5]$，求最大值。

那么我们挨个看看 $i$。

$i$	数列
$1$	$[1]$
$2$	$[1,2]$
$3$	$[1,2,3]$
$4$	$[1,2,3,4]$
$5$	$[1,2,3,4,5]$

发现第 $i$ 次操作有且仅有 $a_i$ 被新加入数列。即 $[a_1\sim a_{i-1}]$ 是不变的。如果暴力枚举就会重复，效率极低。

所以我们考虑贪心的思想。

因为是求最大值，如果 $\exists i<j,a_i\le a_j$ 的情况，是不是从现在开始，在 $a_i$ 的有生之年就不可能对答案有贡献。

因为后面的区间如果包含了 $a_i$，也必定包含了 $a_j$，所以 $a_i$ 一定会被 $a_j$ 所替代，也就无法产生贡献。

那我们就不需要考虑 $a_i$，可以把它踢出去。

所以我们存储在序列里的元素一定是一个具有单调性的序列。

我们考虑用栈进行存储。

如果 $i<j,a_i\le a_j$，即 $a_i$ 已成为废品，那么就让它从栈中弹出。重复执行这一步骤。

最后再加入 $a_j$ 就算完成了一次操作。

来看看代码。

for(int i=1;i<=n;++i){while(!st.empty()&&h[st.top()]<h[i]){ans[st.top()]=i;st.pop();}st.push(i);}

虽然看起来是双层循环，是 $O(n^2)$，但是如果仔细算算，发现 while 里面的操作总共最多执行 $n$ 次，所以总时间复杂度是 $O(n)$。

单调队列

单调栈的升级版。升级在于规定了区间长度为 $m$。

即当前为 $i$，与 $i$ 有关系的区间为 $[i-m-1,i-1]$ 和 $[i+1,i+m+1]$。求最值。

以在 $i$ 左边的区间为例。

那么我们再来手搓玩玩。序列还是 $[1,2,3,4,5]$，区间长度为 $3$。

$i$	序列
$1$	$[1]$
$2$	$[1,2]$
$3$	$[1,2,3]$
$4$	$[2,3,4]$
$5$	$[3,4,5]$

其中只有 i∈{3,4,5}i\in \left\{ 3,4,5\right\}i∈{3,4,5} 时才有意义。所以只需要考虑 $3\le i\le 5$。

可能不够直观，换种方式看看？
$$\begin{gathered} [123]45 \\ 1[234]5 \\ 12[345] \end{gathered}$$
注意到，每次改动仅是多加上一个数 $a_{i+1}$，并减去一个数 $a_{i-m+1}$。所以说就是单调栈的升级版。

俗称滑动窗口。感觉十分形象。

这个是真正的区间最值。但上文说过，线段树、ST 表、树状数组都太慢且不容易实现。

老规矩，还是维护一个具有单调性的双端队列，这样可以模拟从尾部进，从队头出。

对于每次“滑动”，先将滑动所加元素加入队列尾部，不断踢出不比其更优的元素。这个原理和单调栈相似。

然后由于是滑动，所以队列前面的元素可能已经超过了窗口，那我们将它踢出队列。

最后将新加元素加到队列尾部。

代码：

for(int i=1;i<=n;++i){while(!dq.empty()&&a[dq.back()]<=a[i])dq.pop_back();while(!dq.empty()&&dq.front()<=i-k)dq.pop_front();dq.push_back(i);ans[i]=a[dq.front()];}

完结撒花。