一文搞懂：0-1整数规划与蒙特卡罗模拟（附MATLAB代码详解）

前言：欢迎各位光临本博客，这里小编带你直接手撕Make/Makefile (自动化构建)，文章并不复杂，愿诸君耐其心性，忘却杂尘，道有所长！！！！

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一、0-1整数规划：直接用intlinprog函数搞定

先从简单的开始——0-1整数规划，就是问题里的变量只能取0或1（比如“选不选某个方案”“用不用某个资源”）。这类问题不用自己写复杂算法，直接调用MATLAB的intlinprog函数就行，具体用法看下面这张图：

函数里只需按要求填“目标函数系数”“约束条件”等参数，就能自动算出最优解，适合快速解决0-1变量的规划问题。

二、蒙特卡罗模拟：本质是“暴力随机试”

如果问题复杂，或者不想纠结公式，蒙特卡罗方法就是个好选择——核心思路是“大量随机模拟，从结果里找最优”，比如想找最省钱的方案，就随机试1万次，挑花钱最少的那次。下面用3个例题讲透怎么用代码实现。

例题一：0-1变量约束求“最小和”

1. 问题背景

假设有6个变量（只能是0或1），要满足几个约束条件（比如“变量1+2+3至少为1”“变量4+6至少为1”等），最终要找这6个变量的和最小的解（相当于“用最少的变量满足约束”）。

2. 代码解析

代码分“定义部分”和“核心循环”，咱们逐行拆：

（1）定义部分：初始化参数

clear;clc;%清屏（清空工作区和命令行，避免之前的代码干扰）
n = 10000; %模拟次数（“蒙”1万次，次数越多越可能找到最优解）
res_min = +Inf;%最小值初始化（先设成“无穷大”，这样后面遇到更小的数才能更新）
res_x = 0;%存最优解（最后要输出的那组0-1变量）

这里重点说res_min = +Inf：就像你要找“班里最矮的人”，先假设“最矮是10米”，再逐个比，比10米矮就更新——用“无穷大”初始化，能确保第一次找到满足条件的解时，一定能更新它。

（2）核心循环：随机试，找最优

for i = 1 : n  %循环1万次，每次模拟一组解%生成6个0或1（像掷6次硬币，正面1、反面0）x = randi([0,1],6,1); %判断是否满足约束条件（括号里是题目给的所有约束，必须都满足才往下算）if((x(1) + x(2) + x(3) >=1) & (x(4) + x(6) >=1) & (x(3) + x(5) >= 1) & (x(2) + x(4) >= 1) & (x(1) >= 1) & (x(2) + x(4) + x(6) >= 1))sum_x = sum(x);%算当前这组解的变量和（比如x是[1,0,0,1,0,0]，sum_x就是2）%如果当前和比之前的“最小和”还小，就更新最优解if(sum_x < res_min)res_x = x;%存下这组更好的解res_min = sum_x;%更新最小和endend
end

简单说：每次随机造6个0/1，检查是否符合所有要求，符合就算“变量和”，如果这个和比之前的最小值还小，就记下来——1万次试完，最后记下来的就是大概率最优的解。

例题四：工厂设备分配求“最优成本”

1. 问题背景

有6台设备要分给4个企业（每个企业至少分到1台设备），已知“第j台设备分给第i个企业”的成本（存在C这个成本矩阵里），要找“总成本最大”的分配方案（从代码里sum > res能看出来是求最大成本）。

2. 代码解析

（1）定义部分：初始化数据

clear;clc;%清屏
n = 10000; %模拟1万次
%成本矩阵C：C(j,i)表示“第j台设备分给第i个企业”的成本（共6台设备、4个企业）
C = [4,2,3,4;6,4,5,5;7,6,7,6;7,8,8,6;7,9,8,6;7,10,8,6];
res_x = 0;%存最优分配方案（比如[1,2,3,4,1,2]表示设备1分企业1、设备2分企业2...）
res = 0;%存最优成本（最后要输出的最大成本）

（2）核心循环：随机分配，查约束，算成本

for k = 1:n  %循环1万次flag = 1;%标记是否满足“每个企业至少1台”（1=满足，0=不满足）%生成分配方案：1行6列，每个数是1-4（表示设备分给1-4号企业）x = randi([1,4],1,6); %检查每个企业是否都分到设备（遍历4个企业）for j = 1 : 4 %ismember(j,x)：判断j号企业是否在分配方案x里（在=1，不在=0）if(ismember(j,x) == 0)flag = 0;%有企业没分到设备，标记为不满足break;%不用再查了，跳出循环endend%如果满足“每个企业至少1台”，就计算总成本if(flag == 1)sum = 0;%当前方案的总成本%遍历6台设备，累加每台设备的成本for j = 1 : 6sum = sum + C(j, x(j));%C(j,x(j))=第j台设备分给x(j)号企业的成本end%如果当前总成本比之前的最优成本大，就更新if(sum > res)res = sum;%更新最优成本res_x = x;%更新最优分配方案endend
end

举个例子：如果x = [1,1,2,3,4,4]，就会检查“1、2、3、4号企业都在x里吗？”——在，就计算成本：设备1分企业1（成本4）+设备2分企业1（成本2）+…+设备6分企业4（成本6），最后看这个总和是不是比之前的最大成本还大，是就记下来。

例题二：蒲丰投针实验——用随机算π

1. 问题背景

这是个经典实验：在画满平行线的纸上随机投针，通过“针与线相交的概率”反推出π的值。核心原理是：相交概率P = 2L/(aπ)（L是针长，a是平行线间距），所以π = 2L/(Pa)。

2. 代码解析

（1）定义部分：初始化实验参数

clear;clc;
a = 10;%平行线之间的间距（比如10cm）
L = 5;%针的长度（比如5cm，要小于a才合理）
n = 10000; %抛针次数（抛1万次，次数越多算的π越准）%生成随机参数
ph = rand(n,1) * pi;%随机角度（0到π，因为针旋转对称，超过π重复）
x = rand(n,1) * a/2;%针的中点到最近一条平行线的距离（0到a/2，再远就有更近的线）
m = 0; %记录针与线相交的次数
y = (L/2) * sin(ph); %相交的“临界距离”（针刚好碰到线时，x的最大值）%绘图设置：坐标轴范围（x轴角度0-π，y轴距离0-a/2），显示边框
axis([0,pi, 0,a/2]); 
box on; 

这里的y = (L/2)sin(ph)很关键：想象针绕中点转，当针与线的夹角是ph时，针的一半长度在垂直方向的投影是(L/2)sin(ph)——如果针中点到线的距离x小于这个投影，针就会和线相交（比如你把筷子斜着放，离桌边太近就会掉下去）。

（2）核心循环：抛针、计数、绘图

for i = 1 : n%判断是否相交：x(i)（中点距离）<= y(i)（临界距离）→ 相交if(x(i) <= y(i))m = m + 1;%相交次数加1plot(ph(i),x(i),'b.');%在图上画一个蓝色小点（记录这次相交的位置）hold on;%保持图形，后续点叠加画end
end

（3）计算π值

P = m/n;%相交概率（相交次数/总抛针次数）
mypi = 2*L/(P*a)%用公式反推π（代入L=5、a=10、P的值）

实验结果的可视化如图所示（蓝色小点就是相交的投针位置）：

比如抛1万次，相交3180次，P=0.318，代入公式得mypi = 2*5/(0.318*10)≈3.14，和真实π值很接近。

五、张麻子例题三：蒙特卡罗解决特定场景问题

除了上面的通用场景，蒙特卡罗还能解决具体业务问题，比如张麻子例题的场景（如图所示）：

这类问题的核心思路和前面一致：先明确“变量范围”（比如某个参数的取值区间）、“约束条件”（比如业务上的限制）、“目标函数”（比如求利润最大/成本最小），然后用代码做“大量随机模拟”，从结果里挑最优——本质还是“暴力试，但试得足够多，就接近最优解”。

总结：蒙特卡罗的核心逻辑

不管是0-1规划、设备分配还是算π，蒙特卡罗的本质就3步：

1. 定规则：明确“变量能取什么值”“要满足什么约束”“要优化什么目标（最大/最小）”；
2. 随机试：用randi/rand生成大量随机解，逐个检查是否满足约束；
3. 找最优：从满足约束的解里，挑出目标函数最优的那个。

优点是简单好懂，不用推导复杂公式；缺点是需要足够多的模拟次数（次数越多越准）——适合解决公式难推、但能快速验证解是否有效的问题。