矩阵scaling预处理介绍
文章目录
- 一、是否需要 scaling？
- 二、常见的 scaling 方法
- 1. **对角 scaling（Diagonal Scaling）**
- (a) **行 scaling（Row Scaling）**
- (b) **列 scaling（Column Scaling）**
- (c) **平衡 scaling（Equilibration / Symmetric Scaling）**
- 2. **基于物理的 scaling（Physical Scaling）**
- 3. **基于预条件子的隐式 scaling**
- 4. **最大元素 scaling（Max Scaling）**
- 三、实际建议
- 四、相关工具与库
- 总结
在使用迭代法（如共轭梯度法、GMRES、BiCGSTAB等）求解稀疏线性方程组 $ Ax = b $ 时，对矩阵进行适当的 scaling（缩放）通常是推荐的，甚至在某些情况下是必要的。这是因为：
- 条件数（condition number）过大会导致迭代法收敛缓慢甚至不收敛。
- 矩阵元素量级差异大（如某些行或列的范数相差几个数量级）会破坏数值稳定性。
- 物理单位不一致（如不同变量单位不同）也会导致矩阵不平衡。
因此，scaling 的目的是改善矩阵的数值性质，降低条件数，提高迭代法的收敛速度和稳定性。
一、是否需要 scaling？
答案：视情况而定，但强烈建议在以下情况下进行 scaling：
- 矩阵元素量级差异大（如有的元素是 10−610^{-6}10−6，有的是 10610^6106）；
- 来自多物理场问题（如流体-结构耦合），不同变量单位差异大；
- 迭代法收敛缓慢或震荡；
- 预条件子效果不佳。
注意：即使使用了预条件子（preconditioner），scaling 仍可能有帮助，因为预条件子本身也可能受矩阵不平衡影响。
二、常见的 scaling 方法
1. 对角 scaling（Diagonal Scaling）
这是最常用、计算代价最低的方法。通过左乘和/或右乘对角矩阵，使矩阵的行或列范数趋于一致。
(a) 行 scaling（Row Scaling）
目标：使每行的范数（如 2-范数或 ∞-范数）接近 1。
令 $ D_r $ 为对角矩阵，其中
(Dr)ii=1∥Ai∗∥,（如 ∥Ai∗∥∞或 ∥Ai∗∥2）(D_r)_{ii} = \frac{1}{\|A_{i*}\|}, \quad \text{（如 } \|A_{i*}\|_\infty \text{ 或 } \|A_{i*}\|_2\text{）} (Dr)ii=∥Ai∗∥1,（如 ∥Ai∗∥∞ 或 ∥Ai∗∥2）
变换后矩阵为：
A~=DrA\tilde{A} = D_r A A~=DrA
(b) 列 scaling（Column Scaling）
目标：使每列的范数接近 1。
令 $ D_c $ 为对角矩阵，其中
(Dc)jj=1∥A∗j∥(D_c)_{jj} = \frac{1}{\|A_{*j}\|} (Dc)jj=∥A∗j∥1
变换后矩阵为：
A~=ADc\tilde{A} = A D_c A~=ADc
© 平衡 scaling（Equilibration / Symmetric Scaling）
目标：同时平衡行和列，使 $ \tilde{A} = D_r A D_c $，且 $ \tilde{A} $ 的行和列范数都接近 1。
常用算法：
- Rothberg-Gupta 算法（用于对称矩阵）
- MC64 算法（来自 HSL，用于非对称矩阵，基于最大权重匹配）
- 对数迭代平衡法：迭代调整对角缩放因子，使行和列范数趋于 1。
对称矩阵常使用对称 scaling：$ \tilde{A} = DAD $，其中 $ D $ 是对角正定矩阵。
2. 基于物理的 scaling（Physical Scaling）
在建模阶段就进行变量或方程的无量纲化（nondimensionalization），例如：
- 将压力除以参考压力；
- 将速度除以声速；
- 时间除以特征时间。
这从源头上避免了量纲不一致的问题，是最“干净”的 scaling 方法。
3. 基于预条件子的隐式 scaling
某些预条件子（如 Jacobi、SSOR、ILU）本身就具有一定的 scaling 效果，但不能替代显式 scaling。
例如，Jacobi 预条件子 $ M = \text{diag}(A) $ 在对角元量级差异大时效果差，此时先进行 scaling 再用预条件子更有效。
4. 最大元素 scaling（Max Scaling）
将整个矩阵除以其最大绝对值元素：
A~=Amaxi,j∣Aij∣\tilde{A} = \frac{A}{\max_{i,j} |A_{ij}|} A~=maxi,j∣Aij∣A
这种方法简单，但可能无法解决局部不平衡问题。
三、实际建议
- 优先使用对角平衡 scaling（如 MC64 或迭代平衡），尤其对于非对称或病态矩阵。
- 对于对称矩阵，使用对称 scaling（$ DAD $）以保持对称性，利于共轭梯度法等。
- scaling 后，右端项和解也需要相应变换：
- 若 $ \tilde{A} = D_r A D_c $，则令 $ \tilde{x} = D_c^{-1} x ，，， \tilde{b} = D_r b $
- 多数现代求解器（如 PETSc、Trilinos、MATLAB）支持内置 scaling 选项。
四、相关工具与库
| 工具/库 | 支持的 scaling 方法 |
|---|---|
| PETSc | -pc_type jacobi -ksp_type cg -ksp_norm_type unpreconditioned -ksp_rtol 1e-6 -mat_diagonal_scale -mat_diagonal_scale_fix |
| MATLAB | equilibrate(A) 函数（R2019b+） |
| HSL | MC64（用于非对称矩阵的最优 scaling） |
| SuperLU | 内置 row/col scaling 和 matching |
总结
| 问题 | 回答 |
|---|---|
| 是否需要 scaling？ | 推荐使用，尤其当矩阵不平衡或收敛慢时 |
| 常见方法 | 对角 scaling（行、列、平衡）、物理 scaling、最大元 scaling |
| 最佳实践 | 使用平衡 scaling（如 MC64 或 equilibrate），保持对称性，配合预条件子 |
| 注意事项 | scaling 后需相应调整右端项和解，避免破坏问题物理意义 |
✅ 建议：在调用迭代求解器前，先尝试对矩阵进行平衡 scaling，往往能显著提升收敛性能。