1.数值分析——概述、误差
考核方式 办公室B306
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计算题PPT展示（学习通资料有电子版）：理论、计算过程、程序
实验报告（20分）：计算实习题
数值分析解决什么问题？
用计算机解决计算问题
问题转换——模型设计——算法设计——程序设计——计算求解
数值分析的结果是一组离散的数值解
数值分析基本方法
采取的方法有：
数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程组数值解、数值线性代数、常微与偏微数值解
常用程序软件：Matlab 、MWORKS
误差来源
-
模型误差
对次要因素的忽略，对环境的理想化 -
测量误差
测量过程中产生的观测误差 -
截断误差
对难以求解的数学模型进行近似产生的误差，如：泰勒公式，此时截断误差为泰勒余项。 -
舍入误差
计算机只能进行的有限的数位运算，进行舍入产生的误差。
误差
为直观理解，假设一条河宽100m（实际上由于难以测量，未知），估计值是101m。
绝对误差、绝对误差限（误差限）
绝对误差
若准确值为x，其近似值为x*，则其绝对误差e* = x* - x，具体的数。
此处真实值x = 100，近似值 x* = 101，绝对误差e* = 1
由于真实值很难获取，故绝对误差很难获得。
绝对误差限
由于绝对误差很难获得，那么我们允许一定范围内的误差认定是合理的。这个认定的误差上界，称为近似值x*的 绝对误差限，记为ε*，这是上界，或者说是浮动范围。
则精确值x可表示为：
x = x* ± ε*
此处，假设2m内的误差都可以接受，即ε* = 2，此时x = [99,103]
相对误差、相对误差限
相对误差
绝对误差e*与准确值x的比值，有
e∗x=x∗−xx\frac{e*}{x} = \frac{x*-x}{x}xe∗=xx∗−x
由于真值x总是未知的，所以这里通常取x*替代，称为近似值x*的相对误差 er*，这是具体误差值与近似值的比值。
er∗=e∗x∗=x∗−xxer* = \frac{e*}{x*} = \frac{x*-x}{x}er∗=x∗e∗=xx∗−x
此处，相对误差er* = 1/101 = 0.0099…
但是还有一个问题，就是e*事实上也是不知道的
相对误差限
所以引入了相对误差限，我们允许相对误差在一定范围合理，为相对误差设置绝对值的上界，称为相对误差限εr*
εr∗=ε∗∣x∗∣εr* = \frac{ε*}{|x*|}εr∗=∣x∗∣ε∗
此时，εr* = 2/101 = 0.0198…
在实际计算中，相对误差限可以进一步表示如下：
εr∗=ε∗∣x∗∣=∣x∗−x∣∣x∗∣=∣er∗∣εr* = \frac{ε*}{|x*|} = \frac{|x*-x|}{|x*|}=|er*|εr∗=∣x∗∣ε∗=∣x∗∣∣x∗−x∣=∣er∗∣
绝对误差不超过末尾有效数字的半个单位
x∗=±10m（a1+a2⋅10−1+...+an⋅10−(n−1)）x* = ±10^m（a_1 + a_2 · 10^{-1}+ ... +a_n · 10^{-(n-1)}）x∗=±10m（a1+a2⋅10−1+...+an⋅10−(n−1)）
εr∗=∣x−x∗∣≤12⋅10(m−n+1)εr* = |x - x^*| \leq\frac{1}{2}· 10^{(m-n+1)}εr∗=∣x−x∗∣≤21⋅10(m−n+1)
要求掌握：
由近似值找相对误差限，由相对误差限得有几位有效数字
例题1
误差运算法则
设两个近似数x1*，x2*，其相对误差分别为ε*(x1*)和ε*(x2*)，有如下运算法则。
200是近似值，5是绝对误差限
避免误差原则
避免大数除小数
浮点数对阶截断
避免相近数相减
两个非常接近的数相减时，它们的高位有效数字会相互抵消，导致结果中只剩下低位的不太可靠的数字。
大数吃小数
归一化，小数合到一起算
简化步骤，减少运算次数
数学方法降维，简化计算，少用递归，多用加减少用乘除
