力扣每日一刷Day 19
Practice Day nineteen:Leetcode T 70
今天，我们来讲解动态规划中的最优子结构。
定义
如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，那么这个问题就具有最优子结构。换句话说，一个问题的最优解可以通过其子问题的最优解来构建。
特征
子问题的独立性：每个子问题的解是独立的，互不干扰。
子问题的重叠性：在求解过程中，相同的子问题会被多次计算，动态规划通过存储这些子问题的解来避免重复计算。
应用
最优子结构是动态规划算法能够高效解决问题的基础。通过将问题分解为子问题，并存储子问题的解（通常使用一个表格），可以避免重复计算，从而大大提高算法的效率。
了解最优子结构后，我们就开始解答今天的题目吧
题目条件：阶梯数目、步长为1和2
题目目的：找到所给阶梯的所有方案组合数
事实上今天的是easy题，我们只拿他来理解思想，所以这是恰好的
今天我们依旧使用Leetcode的官方解答
我们知道：每做下一次决定时，我们都有两种选择，两种选择为1和2（2可以拆为1和1，这实际上也算步长选取为1的一种情况，所以可以合并，故只有两种选择）。
那么我们的函数关系式可以被表示为：f(x)=f(x−1)+f(x−2)
其中x即为当前台阶编号，f(x) 表示爬到第 x 级台阶的方案数，事实上，每进行一次步进时，都可以把当前台阶序号看作最后的台阶序号，所以这个公式对最后一级台阶也是适用的。
是的，也许你会疑惑：为什么不是f(x)=f(x−1)+1+f(x−2)+1？以符合我们上面所说的，只有两种选择，每做出一种选择，方案数目就加上1？
哈哈，要像这样写f(x)=f(x−1)+1+f(x−2)+1的话，那当然也可以，但是这样未免不够美观，而且每次都需要进行额外的加2，这显然会造成算法效率的降低。如果是按这样来，我们初始化时的时候，从第零阶开始f(0)=0。
若是按f(x)=f(x−1)+f(x−2)这样来，我们的f(0)=1。可以见到，两种不同的公式，只是缘于初始化时赋的值不同。如果按f(0)=1来，每次调用f(x)时，就已经加上1了，这个1由f(0)=1提供，所以不必每次调用f(x)都像一样f(x)=f(x−1)+1+f(x−2)+1分别加上1。
你无法反驳，显然f(x)=f(x−1)+f(x−2)更加美观与迅速，不是吗？
完成了对于公式的理解后，我们需要理解f(0）的初值设置。如果你认为，f(0)到f(0)本身也算一种方案，以符合(x)=f(x−1)+f(x−2)的运行逻辑，那就应该让f(0)=1。
如果你不认为f(0)到f(0)本身不是一种方案，那他就应该符合f(x)=f(x−1)+1+f(x−2)+1的逻辑。
完成了对于公式的构建与初值的选择后，我们来进行代码的构建
由于他超简单的，所以我一次性把完整代码放出来了。
时间复杂度：O（n）
空间复杂度：O（1）
class Solution {
public:int climbStairs(int n) {int p = 0, q = 0, r = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i) {p = q; q = r; r = p + q;}return r;}
};由于我们只需要记录最终的方案数，且后面的计算无需查询更遥远的结果，所以我们不需要完整的容器来记录所有变量，只需要p和q，就可以分别存储f(i-1)和f(i-2)这些中间变量。
对于输出的结果，我们只需要利用一个变量 r 就可以完成对结果的储存。
对于上面的操作，他有个名称，叫做滚动数组。这是一个很有意思的数据结构，官方题解中有动画演示，没有了解过的小伙伴可以看一看，链接我会按照惯例放到题解的最后。
对于滚动数组的实现,我们通过注释来理解他
p = q; q = r; r = p + q;
/*设当前进行的台阶序号为i*/
/*第一行的 p 代表i-2的阶梯方案数，即f（i-2）*/
/*第一行的 q 代表的是i-2的方案数，即f（i-2），这是因为进入下一台阶序号后， q 的值仍未得到更新，记录的是上一个台阶序号的方案数f（i-1），而进入下一台阶序号后，台阶编号由i-1变为i-2，故此时q记录的值是
f（i-2）*//*第二行的 q 是将上一个台阶序号的方案数，即f（i-1），赋值给q*/
/*第二行的 r 是上一个台阶的方案数*//*求当前台阶序号的方案数，即 r=f（i）=f（i-2）=p + f（i-1）=q*/最后返回一个答案 r ,没什么好说的。
作者：力扣官方题解
链接：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/solutions/286022/pa-lou-ti-by-leetcode-solution/
来源：力扣（LeetCode）
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