无懈可击的 TCP AIMD

不特指 TCP AIMD，而泛指控制范畴的所有 Additive Increase / Multiplicative Decrease 算法，继 难以超越的 TCP AIMD 再叙。

“你永远不能仅凭 BBR 的吞吐更高就说 BBR 比 CUBIC 更好” 这句话怎么总是没人看，这句话是这一系列文章的前提论点，但却总有人看了全文后用 “BBR 性能更高” 来表明自己见多识广。

再次给出 AIMD 算法吞吐率 T 和丢包率 p 以及 RTT 关系的公式：

$T=\frac{\gamma }{\text{RTT}}\cdot p^{-0.5}$

在三维坐标系里画图，结论就是：

• AIMD 算法受 RTT 影响巨大，RTT 越大，吞吐越低；
• AIMD 算法受丢包率 p 影响巨大，p 越大，吞吐越低；

如来自 IBM Aspera 的广告图描述上述正合适：

还有个推论：

• 端到端传输控制是 “and” 关系，丢包与路径长度正相关，往往 RTT 越大，p 也越大；

这些即 “长肥管道中 TCP 窗口张开难的故有问题” 的量化描述，长肥管道问题历经 30 年，终于在 2010 年代不能再无视，必须解决，原因在于 “依照 AIMD 公式，高速 TCP 需要控制 p 在某个值 Q 之下，而大多数传输介质的固有丢包率都在 Q 之上”，换句话说，介质由于固有丢包率太高而无法满足高速 TCP 的要求。

如何解决长肥管道的问题，还得从本质入手。

这明明是介质不中用了，关 AIMD 公式什么事。引力距离超过洛希极限掌控不了了，就是牛顿错了？介质不中用了就优化介质，介质电气特性本身就有定义了传输吞吐极限的含义，比如所谓五类，超五类双绞线，目前面对超高速 TCP 而言，只是没有哪种介质对应 400Gbps 传输带宽而已，而不是 AIMD 算法不好。

相反，综合考虑成本，带宽利用率，公平性等，AIMD 是综合效能最好的算法，没有之一，AIMD 恰如其分适应尽力而为的网络。参考 难以超越的 TCP AIMD。

AIMD 公式的正则推导不难，我的总结看这里：

• AIMD 公式的一般推导(附几何推导引用)
• TCP AIMD 公式的推导

更正式的论文参考 The Macroscopic Behavior of the TCP Congestion Avoidance Algorithm。

但这次我们用更加直观的方式重新审视 AIMD 公式，-0.5 次幂值得注意，这意味着 p 和 W 的平方存在反比关系，这个平方如何理解。按照生灭守恒，MD 视作丢包惩罚，AI 视作奖励，则：

$(惩罚量)\cdot (惩罚概率)\propto (奖励量)\cdot (奖励概率)$

AIMD 的惩罚量为 β·W，惩罚概率即丢包率 p，奖励量为 1，奖励概率即每个 RTT 一次，即 $\frac{\frac{R}{W}}{R}=\frac{1}{W}$，总体上就是：
$\beta \cdot W\cdot p\propto 1\cdot \frac{1}{W}$

至于为什么如此，直观上即可理解。

以吹气球为例，气球的破裂容量决定了两个维度的度量，一个是气球的最大容量，另一个是把气球吹到最大容量的时间，而 AIMD 的过程非常像吹气球，buffer 满了丢包视为气球吹爆，它决定了丢包时的最大窗口 W 以及到达最大窗口的时间 0.5·W·RTT，因此 $W^2\propto \frac{1}{p}$，剩下的就是待定系数了。

用吹气球的过程套用生灭守恒，则气球爆裂瞬间释放 W 气体，吹爆气球的频率为 p，按照 AIMD 将气球吹起来需要 W 口气，则吹气频率即 $\frac{1}{W}$，那么 $W\cdot p=1\cdot \frac{1}{W}$，还是一样的结论。

考虑一个有 n +1 个气孔的气球，其中 1 个气孔出气，n 个气孔进气，如果我们要求气球内部必须保留一定气体从出气孔持续放出，考虑 n 人一起从 n 个进气孔吹同一个气球的场景。如果 n = 1，为了照顾人有限的肺活量，气球容量必须至少等于人的最大肺活量，且吹得太快容易爆裂，吹得太慢换气时出气孔没气体，但 n = 3 时，一个人换气时，另外 2 人可能依然保持吹气，就这样让 n 不断增大。

随 n 不断增大，单个人的换气行为导致的气体波动被稀释了。流越多，所需 buffer 越小，但带宽利用率仍然很高，这就是网络对 buffer 需求的平方反比律，参见 交换机 buffer 的平方反比律。

流越多，峰越容易被平滑到谷，总体方差越小，大数中心极限定理，整体越收敛，这就是统计的力量，勾勒出的是现实的美感。

因此 AIMD 算法对 buffer 的需求是向内敛的，不会膨胀，这意味着 AIMD 算法具有良好的扩展性。从这个论点再次看出，AIMD 只需要非常小的代价便可以保持网络在整体上公平高效的可用性，且随着流增多，buffer 需求却不增反降，抖动也被平滑，时延亦具有扩展性。这一切竟然都是自动的，只要执行最简洁的 AIMD。

维持互联网公平高效可用的根基竟然就是多人吹气球。

在这个和谐的场景，单独侵入一条 BBR 流，然后说 BBR 可以获得更大的吞吐，从而证明 BBR 比 AIMD 更优，这是当前绝大多数人的观点，我早已抛弃了这个观点，经历了满怀激情的无果优化，深入理解了 TCP/IP 尽力而为的本质后，我明白了 AIMD 少就是多。

现在开始考虑更加现实的情况。

网络是一个开放系统而非封闭系统，这意味着网络状态时刻随输入，输出，反馈而改变，正如股票，有人买它就会涨，有人卖它就会跌，让你永远捉摸不定它的下一步走势，因为这个走势直接由买卖者自己的行为决定。同样， AIMD 公式需要修正，修正的重点在于，p 在 “多大程度” 上决定 AIMD 周期和最大窗口，这个程序是非线性的，因此需要重新建模：

$T=\frac{\gamma }{\text{RTProp}}\cdot p^{-\alpha }$，其中 $0<\alpha \le 1$

以上更加实际的模型显然无法通过理论推导计算出来参数，接下来就是在每一个特定场景用海量测量数据喂这个模型，求出该场景下最佳拟合结果的 α，β。区别就在于 “理论计算” 还是 “经验总结”。
该模型可以精确预测一个开发中的系统最终的预期理论吞吐，比如用各种 p 得到的实际结果求出 α，β 后，就可以根据系统的结构蕴含的 p 求出 T。它比理论上的 -0.5 次幂以及各种不同 AIMD 算法理论上的 β 更具有实际意义。

以下是这件事和这场论述的缘起，我先给出我的一个拟合模型：

$T=1.05\cdot \frac{\text{MSS}}{\text{RTT}}\cdot p^{-0.75}$

我的 tun/tap 背靠背转发程序里设置了 40MB buffer，在处理 RingBuffer 边界回绕时没处理好，意味着每 40MB 数据丢一个 MSS，测下来只有 490Mbps，fix bug 前需要一个期望，我的期望是跑满千兆，依据就是以上公式。该模型的参数基于 cubic 精确拟合过，至于 40MB 还是 5MB，也可反算，最终得到最佳解。

将 p 视作通用损耗率，该模型几乎适合任何系统求解最佳吞吐。

该总结一下了，形而上时间。

AIMD 公式虽简洁，但与性能挂钩就很不好看，吞吐随 p 衰减太厉害。人们总觉得有 “巨大优化空间”，总想着去 “优化” 它，BBR 出来了，吞吐上来了，但付出了更大的公平性和测量的代价，代码越搞越复杂。问题是如何定义 “更优”，值得编程者注意的是，网络是一个开放非线性系统，而非线性系统的问题不仅仅关乎计算机技术，遗憾的是，BBR 出自计算机技术学科内线性的假设。

如果快速衰减就是不可违抗的自然律呢，而自然本就是典型的非线性系统，这种函数随自变量非线性变化的自然律太正常了。观测被编程者膜拜的无敌香农公式，设信号为 1，噪声为 p，信道容量为

$C=B\cdot {\log }_2(1+\frac{1}{p})$

与 AIMD 几乎一致，二者均显示非线性衰减特征：

噪声增加一点点，信道容量下降很多。

类似的，材料疲劳寿命和应力波动，金融投资收益与风险，生态学种群增长与流行病，均描述了相似的非线性特征。

这并非意味着这些公式描述的衰减存在优化空间，恰恰相反，这说明这些公式描述的世界本质上就是这样的，这是真实世界中真实的衰减，无法抗拒的衰减。而真实世界符合最小作用量，这意味着它们已经是最优解。

回到 AIMD，它是一种极其自然的作用力，自然作用力天然具有公平性特征，其不变量就是时间在共享 buffer 里的弹性，一条流的 buffer 排队时间多了，该作用力会更强烈让其排出更多。

为什么收敛行为这么简洁和优雅？只因为它是自然的，多一点都是多。

更直观的例子是非牛顿流体，不管形状如何，只要质量相同，在重力的作用下，它们最终肯定占据相同的占地面积，因为重心高了，重力会拉低它，将高度补偿给面积后，拉低的力度逐渐变弱，最终大家一致，就好像大家刚挤上一辆公交车时气都喘不过来，车开了点播一段时间后，就逐渐宽松且公平了，$\text{RTT}=\frac{\text{Inflt}}{\text{BW}}$ 表达的也是一个意思。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。