动态规划：青蛙跳台阶实践

一只青蛙要跳上有 n 级的台阶，每次只能跳 1 级或 2 级台阶，问青蛙总共有多少种不同的跳法？

暴力递归算法

我们按照最后一步是跳1阶还是跳2阶，将所有的方案划分成不重不漏的两个集合$S(n-1)$和$S(n-2)$，两个集合方案数之和就是n阶的方案数。

子集合 $S(n-1)$（最后一步跳 1 级）：跳到第 5 级前，已先到第 4 级，对应 “跳到第 4 级的所有跳法”：

• 1->2->3->4->5（最后 1 级：4→5）
• 1->2->4->5（最后 1 级：4→5）
• 1->3->4->5（最后 1 级：4→5）
• 2->3->4->5（最后 1 级：4→5）
• 2->4->5（最后 1 级：4→5）

子集合 $S(n-2)$（最后一步跳 2 级）：跳到第 5 级前，已先到第 3 级，对应 “跳到第 3 级的所有跳法”：

• 1->2->3->5（最后 2 级：3→5）
• 1->3->5（最后 2 级：3→5）
• 2->3->5（最后 2 级：3→5）

这个问题我们要求出方案数，而非具体的方案，因此有
$$|S(n)|=|S(n-1)|+|S(n-2)|$$
简单而言
$$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$$

代码写起来也非常的简单

def f(n):if n == 1:return 1if n == 2:return 2return f(n-1) + f(n-2)

在思考这个递归树的时候，有两种思路，一种就是f(n)表示的是所有的方案，f(n-1)是跳的n-1阶的所有方案，f(n-2)是跳到n-2阶的所有方案。另一种呢就是直接表示方案数，但是对我而言，这种比较难以理解，这种理解更偏向于数学抽象。

打印所有的方案

def f(n):"""生成青蛙跳上n级台阶的所有「台阶编号路径」每个路径是一个列表，包含依次经过的台阶编号（最终到达n）例如n=2时，返回[[1,2], [2]]，对应路径0→1→2和0→2"""# 边界情况：0级台阶，无需跳跃，路径为空if n == 0:return [[]]# n=1：只有一种路径：0→1if n == 1:return [[1]]# n=2：两种路径：0→1→2 或 0→2if n == 2:return [[1, 2], [2]]res = []# 1. 从n-1级跳1级到n：所有到达n-1的路径后加narr1 = f(n-1)for path in arr1:res.append(path + [n])# 2. 从n-2级跳2级到n：所有到达n-2的路径后加narr2 = f(n-2)for path in arr2:res.append(path + [n])return res# 测试n=5
print("n=5的台阶编号路径：")
for i, path in enumerate(f(5), 1):print(f"方案{i}：{path}")

当然也可以直接打印

def print_frog_paths(n, current_path=None):"""直接打印青蛙跳上n级台阶的所有路径（台阶编号）参数:n: 目标台阶数current_path: 当前已走过的路径（用于递归传递）"""# 初始化当前路径if current_path is None:current_path = []# 递归终止条件：已到达目标台阶if n == 0:# 打印当前完整路径print("→".join(map(str, current_path)))return# 情况1：最后一步跳1级（如果可能）if n >= 1:print_frog_paths(n - 1, [n] + current_path )# 情况2：最后一步跳2级（如果可能）if n >= 2:print_frog_paths(n - 2, [n] + current_path)def main():try:n = int(input("请输入台阶的级数："))if n < 0:print("台阶级数不能为负数！")elif n == 0:print("0级台阶无需跳跃！")else:print(f"青蛙跳上{str(n)}级台阶的所有路径：")print_frog_paths(n)except ValueError:print("请输入有效的整数！")if __name__ == "__main__":main()