代码随想录第三十八天| 322. 零钱兑换 279.完全平方数 139.单词拆分 动态规划：关于多重背包，你该了解这些！
322. 零钱兑换
题目描述
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
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322. 零钱兑换
解题思路
这个问题可以使用动态规划来解决。我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示凑成金额 i 所需的最少硬币数量。初始化 dp[0] 为 0，因为凑成金额 0 所需的硬币数量为 0。其他 dp[i] 初始化为 Integer.MAX_VALUE，表示初始状态下无法凑成金额 i。
接下来，我们遍历每一种硬币，并更新 dp 数组。对于每一种硬币 coins[i]，我们更新所有大于或等于 coins[i] 的金额 j 的最少硬币数量。具体来说，如果 dp[j - coins[i]] 不是初始值（即可以凑成金额 j - coins[i]），那么 dp[j] 可以更新为 min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1)。
最后，我们检查 dp[amount] 的值。如果它仍然是 Integer.MAX_VALUE，则返回 -1，表示无法凑成总金额。否则，返回 dp[amount]，即凑成总金额所需的最少硬币数量。
代码实现
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] dp = new int[amount+1];
for(int i=1; i<amount+1; i++){
dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
}
for(int i=0; i<coins.length; i++){
for(int j=coins[i]; j<amount+1; j++){
if(dp[j-coins[i]] != Integer.MAX_VALUE) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];
}
}
279. 完全平方数
题目描述
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的最少数量。
完全平方数是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
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279. 完全平方数
解题思路
这个问题同样可以使用动态规划来解决。我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示组成和为 i 的完全平方数的最少数量。初始化 dp[0] 为 0，因为组成和为 0 的完全平方数的最少数量为 0。其他 dp[i] 初始化为 Integer.MAX_VALUE，表示初始状态下无法组成和为 i。
接下来，我们遍历所有的完全平方数，并更新 dp 数组。对于每一个完全平方数 ii，我们更新所有大于或等于 ii 的和 j 的最少完全平方数数量。具体来说，如果 dp[j - ii] 不是初始值（即可以组成和为 j - ii），那么 dp[j] 可以更新为 min(dp[j], dp[j - i*i] + 1)。
最后，我们返回 dp[n]，即组成和为 n 的完全平方数的最少数量。
代码实现
class Solution {
public int numSquares(int n) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[n+1];
for(int i=1; i<n+1; i++){
dp[i] = max;
}
dp[0] = 0;
for(int i=1; i*i<=n; i++){
for(int j=i*i; j<n+1; j++){
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i*i] + 1);
}
}
return dp[n];
}
}
139. 单词拆分
题目描述
给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
说明：
- 拆分时可以重复使用字典中的单词。
- 你可以假设字典中没有重复的单词。
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139. 单词拆分
解题思路
这个问题可以使用动态规划来解决。我们定义一个布尔数组 valid，其中 valid[i] 表示字符串 s 的前 i 个字符是否可以由字典中的单词组成。
- 初始化
valid[0]为true，因为一个空字符串总是可以被拆分（不需要任何单词）。 - 遍历字符串
s的每一个位置i，对于每一个位置，我们再遍历它的每一个可能的前缀j。 - 如果
s.substring(j, i)是字典中的一个单词，并且valid[j]为true，那么我们可以说s.substring(0, i)也可以被拆分，因此我们将valid[i]设置为true。 - 最后，
valid[s.length()]将告诉我们整个字符串s是否可以被拆分。
代码实现
class Solution {
public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
HashSet<String> set = new HashSet<>(wordDict);
boolean[] valid = new boolean[s.length() + 1];
valid[0] = true;
for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {
for (int j = 0; j < i && !valid[i]; j++) {
if (set.contains(s.substring(j, i)) && valid[j]) {
valid[i] = true;
}
}
}
return valid[s.length()];
}
}
56. 携带矿石资源（第八期模拟笔试）
题目描述
你是一名宇航员，即将前往一个遥远的行星。在这个行星上，有许多不同类型的矿石资源，每种矿石都有不同的重要性和价值。你需要选择哪些矿石带回地球，但你的宇航舱有一定的容量限制。
给定一个宇航舱，最大容量为 C。现在有 N 种不同类型的矿石，每种矿石有一个重量 w[i]，一个价值 v[i]，以及最多 k[i] 个可用。不同类型的矿石在地球上的市场价值不同。你需要计算如何在不超过宇航舱容量的情况下，最大化你所能获取的总价值。
输入描述
输入共包括四行，第一行包含两个整数 C 和 N，分别表示宇航舱的容量和矿石的种类数量。
接下来的三行，每行包含 N 个正整数。具体如下：
- 第二行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的重量。
- 第三行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的价格。
- 第四行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的可用数量上限。
解题思路
这个问题是一个典型的多重背包问题，可以通过动态规划来解决。我们可以使用一个一维数组 dp 来表示在不同容量下的最大价值。数组的索引表示当前背包的容量，而值表示在该容量下能够获得的最大价值。
- 初始化 dp 数组，所有值设为 0，因为开始时背包中没有物品，价值为 0。
- 遍历每一种矿石，对于每一种矿石，再遍历其数量上限。
- 对于每一种数量，使用完全背包的思路，更新 dp 数组。
- 最后，dp[bagWeight] 将包含最大价值。
代码实现
import java.util.Scanner;
class multi_pack{
public static void main(String [] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int bagWeight, n;
bagWeight = sc.nextInt();
n = sc.nextInt();
int[] weight = new int[n];
int[] value = new int[n];
int[] nums = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) weight[i] = sc.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) value[i] = sc.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) nums[i] = sc.nextInt();
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[bagWeight]);
}
}