图论入门与邻接表详解

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📘 图论入门与邻接表详解

—— 零基础也能看懂的图论学习笔记

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一、什么是图论？

图论（Graph Theory） 是数学和计算机科学中的一个重要分支，研究“图”这种结构。

✅ 图（Graph） ≠ 柱状图/折线图
它是由 顶点（Vertex/Node） 和 边（Edge） 组成的结构，用来表示对象之间的关系。

🌟 常见应用场景：

• 社交网络：人是顶点，朋友关系是边
• 地图导航：城市是顶点，道路是边
• 课程依赖：课程是顶点，先修关系是边
• 网页链接：网页是顶点，超链接是边

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二、图的基本组成

概念	说明
顶点（Vertex）	表示一个对象，如人、城市、网页
边（Edge）	表示两个顶点之间的连接或关系
图 G = (V, E)	V 是顶点集合，E 是边集合

举例：

A —— B —— C

• 顶点：A, B, C
• 边：A-B, B-C

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三、图的类型

类型	说明	示例
无向图	边没有方向，A—B 等价于 B—A	朋友关系
有向图	边有方向，A→B 不一定可逆	网页链接、课程依赖
加权图	每条边有“权重”（如距离、成本）	导航系统中的道路长度
简单图	无自环、无重复边	大多数算法题
多重图	允许重复边或自环	少见

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四、基本术语

术语	含义
度（Degree）	一个顶点连接的边数（有向图分入度/出度）
路径（Path）	从一个顶点到另一个顶点经过的边序列
环（Cycle）	起点和终点相同的路径
连通图	任意两点都有路径（无向图）
强连通	任意两点可互相到达（有向图）
树（Tree）	无环的连通无向图

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五、图的存储方式

有两种主流方式：

1. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）

• 用二维数组 matrix[i][j] 表示是否有边
• 空间复杂度：O(V²)
• 适合稠密图

2. ✅ 邻接表（Adjacency List） ← 推荐初学者掌握

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六、邻接表详解（重点！）

1. 什么是邻接表？

每个顶点维护一个列表，记录它连接的所有邻居。

📌 本质：“谁和我相连”

2. 如何建邻接表？（三步法）

✅ 步骤 1：初始化

# 顶点编号 0 ~ n-1（连续整数）
n = 5
g = [[] for _ in range(n)]  # g[i] 是顶点 i 的邻居列表

⚠️ 错误写法：g = [[]] * n → 所有子列表共享引用！
✅ 正确写法：g = [[] for _ in range(n)]

✅ 步骤 2：添加边

无向图（双向）

u, v = 1, 2
g[u].append(v)
g[v].append(u)

有向图（单向）

u, v = 1, 2  # u → v
g[u].append(v)
# 不加反向边

✅ 步骤 3：处理重复边（可选）

seen = set()
for a, b in edges:if (a, b) not in seen:seen.add((a, b))g[b].append(a)  # 例如课程依赖

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3. 邻接表示例

示例 1：无向图

A — B — C

g = {'A': ['B'],'B': ['A', 'C'],'C': ['B']
}

示例 2：有向图（课程依赖）

prerequisites = [[1,0], [2,1]]  # 0→1, 1→2
g = [[1], [2], []]

图：0 → 1 → 2

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4. 如何“读”邻接表？

给你一个邻接表，如何还原图？

g = [[1], [2], [0]]

1. 顶点：0, 1, 2
2. 读每行：
   • 0 → 1
   • 1 → 2
   • 2 → 0
3. 画图 → 发现环：0→1→2→0

📌 判断有向/无向：

• 对称 → 无向
• 不对称 → 有向

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5. 邻接表 vs 邻接矩阵

对比项	邻接表	邻接矩阵
空间	O(V + E)	O(V²)
适合	稀疏图	稠密图
查边	O(度)	O(1)
遍历邻居	快	慢

✅ 推荐使用邻接表：大多数算法题中图是稀疏的。

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七、邻接表 + 常见算法

1. BFS（广度优先搜索）

from collections import dequedef bfs(start, g):visited = [False] * len(g)queue = deque([start])order = []while queue:node = queue.popleft()if not visited[node]:visited[node] = Trueorder.append(node)for neighbor in g[node]:if not visited[neighbor]:queue.append(neighbor)return order

用途：最短路径（无权图）、层序遍历

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2. DFS（深度优先搜索）

def dfs(node, g, visited, order):visited[node] = Trueorder.append(node)for neighbor in g[node]:if not visited[neighbor]:dfs(neighbor, g, visited, order)

用途：检测环、拓扑排序、连通性

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八、经典应用：课程表问题（拓扑排序）

判断是否能完成所有课程（即图是否有环）：

def canFinish(numCourses, prerequisites):g = [[] for _ in range(numCourses)]for a, b in prerequisites:g[b].append(a)  # b → acolors = [0] * numCourses  # 0:未访问, 1:访问中, 2:已完成def dfs(x):colors[x] = 1for y in g[x]:if colors[y] == 1:return True  # 发现环if colors[y] == 0 and dfs(y):return Truecolors[x] = 2return Falsefor i in range(numCourses):if colors[i] == 0 and dfs(i):return False  # 有环return True

📌 核心：用 colors 标记状态，g 存图，dfs 检测环。

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九、学习建议

1. 从画图开始：先画几个小图，练习 BFS/DFS 手动遍历
2. 动手实现：用 Python 写邻接表 + BFS/DFS
3. 刷题巩固：
   • LeetCode 200. 岛屿数量（DFS/BFS）
   • LeetCode 207. 课程表（拓扑排序）
   • LeetCode 133. 克隆图
4. 理解本质：图是“关系”的抽象，邻接表是“谁连谁”的记录

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十、总结口诀

🔑 邻接表三步走：

1. g = [[] for _ in range(n)]
2. 遍历边，取出 u, v
3. 加边：
   • 无向：g[u].append(v) + g[v].append(u)
   • 有向：g[u].append(v)

🔑 图论一句话：
顶点是对象，边是关系，邻接表是存储，BFS/DFS 是遍历工具。

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