代码随想录算法训练营30天 | 01背包理论基础、416. 分割等和子集
题目链接：46. 携带研究材料、416. 分割等和子集
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动态规划
1. 01背包理论基础（一）
有 n 件物品和一个最多能背重量为 w 的背包。第 i 件物品的重量是 weight[i]，得到的价值是 value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
举例：背包最大重量为4。物品为：
重量 价值 物品0 1 15 物品1 3 20 物品2 4 30 问背包能背的物品最大价值是多少？
方法一：二维 dp 数组
1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义：定义二维数组 dp[i][j]，其中 i 表示物品、j 表示背包容量，dp[i][j] 则表示从下标为 [0 - i] 的物品里任意取，放进容量为 j 的背包，产生的最大价值总和
2. 推导递推公式：求取 dp[i][j] 有两种情况：放物品 i & 不放物品 i
不放物品 i：背包容量为 j，里面不放物品 i 的最大价值是 dp[i - 1][j]
放物品 i：背包空出物品 i 的容量后，背包容量为 j - weight[i]，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为 j - weight[i] 且不放物品 i 的最大价值，那么 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品 i 得到的最大价值
递归公式： dp[i][j] = max ( dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] )
3. dp 数组如何初始化：
- 首先从 dp[i][j] 的定义出发，如果背包容量 j 为 0 的话，即 dp[i][0]，无论选取哪些物品，背包价值总和一定为0
- 再由状态转移方程 dp[i][j] = max ( dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] ) 可以看出 i 是由 i - 1 推导而来，那么 i 为 0 的时候就一定要初始化
- 除了 dp[0][j] 和 dp[i][0]，从递归公式可以看出，dp[i][j] 是由其上方和左上方的数值推导而来，因此，其他下标初始值可以任意设置，因为都会被覆盖
此时 dp 数组初始化情况如图所示：
4. 确定遍历顺序：利用二维dp数组解决01背包问题时，两种遍历方式（先遍历物品再遍历背包、先遍历背包再遍历物品）虽然遍历次序不同，但是 dp[i][j] 所需要的数据都是来自左上角，两种遍历顺序根本不影响 dp[i][j] 递推公式的推导
5. 举例推导 dp 数组：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int m, n;cin >> m >> n;vector<int> weight(m, 0);vector<int> value(m, 0);for (int i = 0; i < m; i++) {cin >> weight[i];}for (int j = 0; j < m; j++) {cin >> value[j];}vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n + 1, 0));for (int j = weight[0]; j <= n; j++) {dp[0][j] = value[0];}for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {for (int j = 0; j <= n; j++) {//dp[i][j] 的定义不是“在容量 j 下选定哪些物品”，而是“在容量 j 下，考虑前 i 个物品，能得到的最大价值”。也就是说，dp[i][j] 本身就是一个“容量上限为 j”的最优解，不代表你“已经用了 j 的容量”。if (j < weight[i]) //如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值dp[i][j] = dp[i - 1][j];else {dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}}cout << dp[m - 1][n] << endl;return 0;
}2. 01背包理论基础（二）
方法二：一维 dp 数组（滚动数组）
1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义：在一维 dp 数组中，dp[j] 表示：容量为 j 的背包，所背的物品价值可以最大为 dp[j]
2. 推导递推公式：
一维dp数组，其实就是将上一层的 dp[i-1] 拷贝到这一层的 dp[i]，因此，在二维 dp 数组递推公式的基础上，去掉 i 这个维度就好，递推公式为：dp[j] = max ( dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i] )
如何理解该递推公式：dp[j] 有两个选择，一个是取自己 dp[j]，相当于二维 dp 数组中的 dp[i-1][j]，即不放物品 i；一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品 i，再取二者较大值
3. dp 数组如何初始化：
基于 dp[j] 的定义：容量为 j 的背包，所背的物品价值可以最大为 dp[j]，那么 dp[0] 就应该是 0。那么 dp 数组除了下标 0 的位置初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])；dp 数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数，那么非 0 下标都初始化为 0 即可，这样才能让 dp 数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了
4. 确定遍历顺序：
一维 dp 数组的遍历顺序：先物品再背包，其中背包容量要倒序遍历
- 先物品再背包：由于一维 dp 数组的写法，如果遍历背包容量放在上一层，那么每个 dp[j] 就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品
- 背包要倒序遍历：倒序遍历是为了保证物品 i 只被放入一次！一旦正序遍历了，那么物品 i 就会被重复加入多次
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}5. 举例推导 dp 数组：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main(){int m, n;cin >> m >> n;vector<int> weight(m);vector<int> value(m);for(int i = 0; i < m; i++) {cin >> weight[i];}for(int j = 0; j < m; j++) {cin >> value[j];}vector<int> dp(n + 1, 0);for(int i = 0; i < m; i++) {for(int j = n; j >= weight[i]; j--) {dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[n] << endl;return 0;
}3. 分割等和子集
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[j] 表示容量（所能装的重量）为 j 的背包，所背的物品价值最大可以为 dp[j]。由于本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值，所以当 dp[target] == target 时，背包就装满了
- 确定递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
- dp数组如何初始化：根据 dp[j] 的定义，dp[0] 一定是 0，由于本题中只包含正整数的非空数组，因此非 0 下标的元素初始化为 0 即可
// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200 // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了 vector<int> dp(10001, 0);- 确定遍历顺序：使用一维 dp 数组，物品遍历的 for 循环放在外层，遍历背包的 for 循环放在内层，且内层 for 循环倒序遍历
- 举例推导dp数组：
dp[j] 的数值一定是小于等于 j 的。如果 dp[j] == j，说明集合中的子集总和正好可以凑成总和 j
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