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洛谷 P3811 【模板】模意义下的乘法逆元-普及/提高-

news 2025/8/23 14:27:53

题目背景

这是一道模板题

题目描述

给定 $n, p$ 求 $1∼n1\sim n$ 中所有整数在模 $p$ 意义下的乘法逆元。

这里 $a$ 模 $p$ 的乘法逆元定义为 $ax≡1(modp)ax\equiv1\pmod p$ 的解。

输入格式

一行两个正整数 $n, p$ 。

输出格式

输出 $n$ 行，第 $i$ 行表示 $i$ 在模 $p$ 下的乘法逆元。

输入输出样例 #1

输入 #1

10 13

输出 #1

说明/提示

$ 1 \leq n \leq 3 \times 10 ^ 6 $，$ n < p < 20000528 $。

输入保证 $ p $ 为质数。

solution

思路: 求乘法逆元的方式有很多中

1 可以用拓展欧几里得算法直接求解方程 ax=1 mod p
2 可以用费马小定理 a^p-1=1 即 a^p-2 即为a的逆元
3 前两个算法对于求单个逆元都是比较快的，但是如果要求 [1, n] 所有数的逆元，可以用递推公式实现线性时间复杂度
例如求 i 的逆元 p = ki + r
- 3.1 ki + r = 0 mod p
  两边乘以 i^-1 * r^-1 得到
- 3.2 kr^-1 + i^-1 = 0 mod p 即 i^-1 = -kr^-1 mod
  其中 r 必然比 i 小，所以从小到大递推必然可以
  易得 1 * 1 = 1 mod p
4 可以用阶乘逆元
- 用 f[n] 表示 n! 的逆元, 则
  - (1) f[n] * n! = 1
  - (2) f[n-1] * (n-1)! = 1
- 将(2)代入(1)中, 即 f[n] * n = f[n-1]
  - n^-1 = f[n] * (n-1)!
    具体做法是先求 g[i] = i!, 然后求 f[n] = g[n]^-1 (可以用快速幂), 然后逆着推求 f[i]
    然后 i^-1 = f[n] * g[n-1]
    这个也是线性的，但是比较麻烦，其主要用于求阶乘的逆元

代码

#include "cstring"
#include "string"
#include "algorithm"
#include "iostream"
#include "vector"
#include "unordered_set"
#include "unordered_map"
#include "bitset"
#include "queue"
#include "set"using namespace std;/**  思路:求乘法逆元的方式有很多中*  1 可以用拓展欧几里得算法直接求解方程 ax=1 mod p*  2 可以用费马小定理 a^p-1=1 即 a^p-2 即为a的逆元*  3 前两个算法对于求单个逆元都是比较快的，但是如果要求 [1, n] 所有数的逆元，可以用递推公式实现线性*      例如求 i 的逆元 p = ki + r*      3.1  ki + r = 0 mod p*      两边乘以 i^-1 * r^-1 得到*      3.2 k*r^-1 + i^-1 = 0 mod p  即  i^-1 = -k*r^-1 mod p*      其中 r必然比 i 小，所以从小到大递推必然可以*      易得 1 * 1 = 1 mod p*  4 可以用阶乘逆元*      用 f[n] 表示 n! 的逆元, 则*          (1) f[n] * n! = 1*          (2) f[n-1] * (n-1)! = 1*      将(2)代入(1)中, 即 f[n] * n = f[n-1]*      n^-1 = f[n] * (n-1)!*      具体做法是先求 g[i] = i!, 然后求 f[n] = g[n]^-1 (可以用快速幂), 然后逆推求 f[i]*      然后 i^-1 = f[n] * g[n-1]*      这个也是线性的，但是比较麻烦，其主要用于求阶乘的逆元*/const int N = 3e6 + 5, M = 2e6, INF = 1e9, MOD = 998244353;
typedef long long ll;int n, inv[N], p;int main() {scanf("%d%d", &n, &p);inv[1] = 1;printf("%d\n", 1);for (int i = 2; i <= n; i++) {//i^-1 = -k*r^-1 mod pinv[i] = p - 1ll * p / i * inv[p % i] % p;printf("%d\n", inv[i]);}return 0;}