高等数学（上）题型笔记（六）定积分的应用
目录
1 三角函数定积分的结论
2 定积分的微元法（元素法）
2.1 使用条件
2.2 使用步骤
3 定积分的几何应用
3.1 平面图形的面积
3.1.1 直角坐标系的情形
3.1.1.1 X型
3.1.1.2 Y型
3.1.1.3 双型
3.1.1.4 复合：分割型
3.1.1.5 引入参数型
3.1.1.6 题型：摆线
3.1.1.7 题型：星形线
3.1.2 极坐标系的情形
3.1.2.1 基本公式
3.1.2.2 练习：双纽线
3.1.2.3 练习：心形线
3.2 立体的体积
3.2.1 旋转体的体积
持续更新中...
1 三角函数定积分的结论
简化计算过程会用到，比如3.1.1.7星形线中的例题
2 定积分的微元法（元素法）
2.1 使用条件
U是所求图形面积
2.2 使用步骤
3 定积分的几何应用
主要就是对微元法的使用
要求：跳过步骤二直接写步骤三
3.1 平面图形的面积
3.1.1 直角坐标系的情形
3.1.1.1 X型
选取x作为积分变量
3.1.1.2 Y型
选x作为积分变量时，上下边界不止一条曲线，较为复杂，此时若选取y作为积分变量好求，择选y作为积分变量
3.1.1.3 双型
既可以视为X型，也可以使用Y型
3.1.1.4 复合：分割型
可以视为两个图形分别运用X型或Y型
关键：找交点定边界
有一些分割点较为含蓄，不如上面的直观：
练习：
3.1.1.5 引入参数型
函数式复杂，计算量都非常大时，可以引入一个公共的变量，用这个变量分别表示x与y
3.1.1.6 题型：摆线
应用：引入参数型
摆线图形分析：
计算过程：
注意：定积分区间的改变！！
3.1.1.7 题型：星形线
例题：
注意：书本例题中并未给出t的取值范围
3.1.2 极坐标系的情形
3.1.2.1 基本公式
3.1.2.2 练习：双纽线
3.1.2.3 练习：心形线
3.2 立体的体积
3.2.1 旋转体的体积
单侧转时可用的技巧：绕x轴转就求以x为积分变量的图形的面积，然后添π添平方得到体积，如下图：
