机器学习数学通关指南——微分中值定理和积分中值定理

前言

本文隶属于专栏《机器学习数学通关指南》，该专栏为笔者原创，引用请注明来源，不足和错误之处请在评论区帮忙指出，谢谢！

本专栏目录结构和参考文献请见《机器学习数学通关指南》

---

正文

1. 定义与核心结论

积分中值定理（第一中值定理）

• 条件：函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。
• 结论：存在至少一点 $\xi \in [a,b]$，使得：
  $${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a).$$
• 核心思想：连续函数在区间上的定积分等于某点的函数值与区间长度的乘积。

微分中值定理

包含多个子定理，关键的区别如下：

• 罗尔定理

  • 条件：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、开区间可导，且 $f(a)=f(b)$。
  • 结论：存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

• 拉格朗日中值定理

  • 条件：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、开区间可导。
  • 结论：存在 $\xi \in (a,b)$，使得：
    $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a).$$

• 柯西中值定理

  • 条件：$f(x)$、$F(x)$ 满足拉格朗日中值定理的条件，且 $F^{\prime }(x)\ne 0$.
  • 结论：存在 $\xi \in (a,b)$，使得：
    $$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}.$$

---

2. 区别

方面	积分中值定理	微分中值定理
研究对象	函数在区间上的积分均值	函数在区间内的导数或变化率
核心条件	连续性（无需可导）	连续且可导（对导数的要求不同）
应用场景	定积分的估计、物理量的平均作用	分析极值、证明函数性质（如单调性、等式）
公式形式	积分等于某点函数值的面积形式	导数与平均变化率的关系

---

3. 联系

1. 基础框架的一致性
   两个定理均属于中值定理，核心是利用连续性或可导性证明“存在某点满足特定条件”。

2. 微分与积分的关系
   积分中值定理的证明常借助罗尔定理或拉格朗日中值定理（通过构造辅助函数）。例如，积分上限函数的导数即为被积函数，结合微分中值定理可得积分均值。

3. 互为补充

   • 积分中值定理：关注整体性质的均值。
   • 微分中值定理：关注局部变化的精确点。
     例如，拉格朗日中值定理可视为积分中值定理在导数领域的对应形式。

---

4. 典型应用举例

积分中值定理的应用

• 计算积分近似值或简化复杂积分的表达。
• 物理中，将连续变化的力等效为平均力。

微分中值定理的应用

• 证明方程根的存在性（如罗尔定理用于构造导数为零的点）。
• 推导泰勒展开余项或误差估计（如拉格朗日余项公式）。

---

总结：积分中值定理（第一中值定理）与微分中值定理分别通过积分和导数的角度揭示函数整体与局部行为的联系，均为分析学中通过均值思想研究函数特性的重要工具。