数据结构 -- 树
一、树的基本概念
（一）定义
树是由 n（n ≥ 0） 个结点组成的有限集合，是一种非线性层次结构：
- 当
n = 0时，称为空树； - 当
n > 0时，存在唯一的根结点（无前驱结点），其余结点可划分为m（m ≥ 0）个互不相交的有限子集，每个子集都是一棵独立的子树。
（二）结点与树的核心属性
| 概念 | 定义 |
|---|---|
| 结点的度 | 结点拥有的子树个数 |
| 叶结点（终端结点） | 度为 0 的结点（无子树，位于树的最底层） |
| 分支结点（非终端结点） | 度不为 0 的结点（至少拥有一棵子树） |
| 树的度 | 树中所有结点的最大度数 |
| 深度 / 高度 | 从根结点开始计数，根为第 1 层，子结点依次递增，树的最大层数即为深度 / 高度 |
（三）存储结构
- 顺序存储：通过数组存储结点，需结合结点间的层次关系（如双亲下标）关联数据，适用于结构规则的树（如完全二叉树）。
- 链式存储：通过指针记录结点的子树地址（如孩子指针、兄弟指针），灵活性高，适用于各类形态的树。
二、二叉树的基本概念
（一）定义
二叉树是 n（n ≥ 0） 个结点的有限集合，满足：
- 当
n = 0时，为空二叉树； - 当
n > 0时，由根结点、左子树和右子树组成，且左、右子树互不相交，均为二叉树。
（二）核心特点
- 每个结点最多有 2 棵子树（左子树和右子树），即二叉树的度最大为 2；
- 左、右子树具有有序性，不可随意颠倒（如 “仅有左子树” 与 “仅有右子树” 是两种不同结构）；
- 若结点仅有一棵子树，必须明确标注是左子树还是右子树。
三、特殊二叉树
| 类型 | 定义 |
|---|---|
| 斜树 | 所有结点仅含一棵子树，分为左斜树（仅左子树）和右斜树（仅右子树） |
| 满二叉树 | 深度为 k（k ≥ 1），所有分支结点均有左、右子树，且所有叶子结点在同一层 |
| 完全二叉树 | 深度为 k（k ≥ 1），按层序编号后，与同深度满二叉树的结点编号完全一致 |
四、二叉树重要性质
- 第
i层结点数上限：第i（i ≥ 1）层最多有2^{i-1}个结点（如第 3 层最多 4 个结点）； - 深度为
k的结点总数上限：深度为k（k ≥ 1）的二叉树，最多有2^k - 1个结点（此时为满二叉树）； - 叶子结点与度为 2 的结点关系：任意非空二叉树中，叶子结点数
n₀= 度为 2 的结点数n₂+ 1（即n₀ = n₂ + 1）； - 完全二叉树深度计算：含
n个结点的完全二叉树，深度为⌊log₂n⌋ + 1（⌊x⌋表示向下取整）。
五、二叉树遍历方式
二叉树遍历是按规则访问所有结点（每个结点仅访问一次），核心分为深度优先遍历（DFS）和广度优先遍历（BFS）：
| 遍历类型 | 具体方式 | 遍历顺序 |
|---|---|---|
| 深度优先遍历 | 前序遍历 | 根结点 → 左子树 → 右子树 |
| 中序遍历 | 左子树 → 根结点 → 右子树 | |
| 后序遍历 | 左子树 → 右子树 → 根结点 | |
| 广度优先遍历 | 层序遍历 | 按层次从上到下、同层从左到右 |
前序遍历
规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子
树，再前序遍历右子树。如图，遍历的顺序为：ABDGHCEIF。
void PreOrder(TreeNode* root) {if (root == NULL) return; // 空树，递归终止printf("%d ", root->data); // 访问根结点PreOrder(root->left); // 递归遍历左子树PreOrder(root->right); // 递归遍历右子树
}中序遍历
规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结
点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。如图，遍历的顺序为：GDHBAEICF。
void InOrder(TreeNode* root) {if (root == NULL) return; // 空树，递归终止InOrder(root->left); // 递归遍历左子树printf("%d ", root->data); // 访问根结点InOrder(root->right); // 递归遍历右子树
}3.后序遍历
规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左
右子树，最后是访问根结点。如图，遍历的顺序为：GHDBIEFCA。
void PostOrder(TreeNode* root) {if (root == NULL) return; // 空树，递归终止PostOrder(root->left); // 递归遍历左子树PostOrder(root->right); // 递归遍历右子树printf("%d ", root->data); // 访问根结点
}遍历顺序：按树的层次从上到下、同一层从左到右依次访问所有结点，本质是 “按层访问”。实现依赖：需借助队列（先进先出，FIFO），通过 “根结点入队 → 队头出队访问 → 左右子结点入队 → 循环至队空” 的逻辑实现。
void LevelOrder(TreeNode* root) {if (root == NULL) return; // 空树，直接返回SeqQue* queue = CreateSeqQue(100); // 创建容量为 100 的队列EnterSeqQue(queue, root); // 根结点入队while (!IsEmptySeqQue(queue)) { // 队列非空，循环处理TreeNode* curr = GetHeadSeqQue(queue); // 取队头结点printf("%d ", curr->data); // 访问当前结点QuitSeqQue(queue); // 队头结点出队if (curr->left != NULL) // 左子结点非空，入队EnterSeqQue(queue, curr->left);if (curr->right != NULL) // 右子结点非空，入队EnterSeqQue(queue, curr->right);}DestroySeqQue(queue); // 销毁队列，释放内存
}