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94. 城市间货物运输 I, Bellman_ford 算法

news 2025/8/23 6:52:14

94. 城市间货物运输 I

Bellman_ford 算法

Bellman_ford 算法与 dijkstra算法相比通用性更强。

dijkstra算法解决不了负权边的问题，因为Dijkstra基于贪心策略，一旦一个节点被从队列中取出（标记为已解决），它就假定已经找到了到达该节点的最短路径。如果存在负权边，可能会有一条通过负权边的路径去到达该节点，这个负权边可以让一个已经被标记为已解决的节点的距离变得更小，但算法不会再回头去检查它，从而导致错误的结果。

Bellman_ford 算法的核心思想是 对所有边进行松弛n-1次操作（n为节点数量），从而求得目标最短路。

什么是松弛？

松弛是Bellman_ford 算法的实现基础。

松弛就是一个“检查并更新”的过程：检查是否存在一条通过某个中间节点的更短路径，如果存在，就更新当前的最短路径估计。其实就是更新min_List数组，来判断从起点出发到达下一个点是否有更短的路径。

代码实现：

# 对边 (u, v) 进行松弛操作
if dist[u] + weight(u, v) < dist[v]:dist[v] = dist[u] + weight(u, v)prev[v] = u # 可选：记录v是从u来的

为什么是n-1次？

因为任何不包含负权环的最短路径最多包含 n-1 条边。n-1 次松弛足以保证找到所有可能的最短路径。即n个点的话，从起点出发到终点的最短路径只需要经过n-1条边。

Bellman_ford 算法为什么能解决负权边的问题？

为什么dijkstra算法不能解决负权边的问题，关键是visited数组的设置导致了即使有负权边通向某个结节点，但由于visited中该节点之前被访问过了，因此无法更新。

Bellman-Ford 算法不依靠visited数组，其实现就是从每个点出发去松弛n-1次，来得到从起点出发经过该节点到达下一个节点时的最短路径。如下

dist 初始化为 [ ∞, 0, ∞, ∞, ∞, ∞ ]，n=5，因此需要松弛4次。

第一次松弛：

边 1→2 (100): dist[1] + 100 = 0 + 100 = 100 < ∞ → 更新 dist[2] = 100
边 1→3 (1): dist[1] + 1 = 0 + 1 = 1 < ∞ → 更新 dist[3] = 1
边 2→3 (-300): dist[2] + (-300) = 100 - 300 = -200 < 1 → 更新 dist[3] = -200
边 3→4 (1): dist[3] + 1 = -200 + 1 = -199 < ∞ → 更新 dist[4] = -199
边 4→5 (1): dist[4] + 1 = -199 + 1 = -198 < ∞ → 更新 dist[5] = -198

第二次松弛

边 1→2 (100): 0 + 100 = 100 = 100 → 无变化
边 1→3 (1): 0 + 1 = 1 > -200 → 无变化
边 2→3 (-300): 100 - 300 = -200 = -200 → 无变化
边 3→4 (1): -200 + 1 = -199 = -199 → 无变化
边 4→5 (1): -199 + 1 = -198 = -198 → 无变化

......

经过4次松弛后就得到了更新后的min_List数组。从树的生成角度来理解这两个算法，如下：

Code

if __name__ == "__main__":city_size, road_size = map(int, input().split())length = city_size + 1graph = [[] for _ in range(length)] ##graph 存储了length个空数组min_List = [float('inf')] * lengthmin_List [1] = 0for _ in range(road_size):s, t, v = map(int, input().split())graph[s].append([t,v])for _ in range(city_size):      ## 松弛n-1次updated = False      ## 不一定要松弛完n-1次，如果发现不再更新了，那就可以退出了for i in range(1, length):       ## 遍历每个点cur_node = i       if len(graph[i]) == 0:       ## 没有下一个节点 continuefor j in range(len(graph[i])):  ## 每个节点进行了n-1次循环。即n-1次松弛next_node = graph[i][j][0]value = graph[i][j][1]dis = min_List[cur_node] + value  # 从起点出发经历当前节点到下一个节点if min_List[cur_node] != float('inf') and dis < min_List[next_node]:min_List[next_node] = disupdated = Trueif updated == False:   # 在一次松弛过程中，遍历完所有节点后发现min_List没有更新break if min_List[-1] == float('inf'):print("unconnected")else:print(min_List[-1])

注意：非常重要的点：