【高等数学】第九章 多元函数微分法及其应用——第九节 二元函数的泰勒公式

上一节：【高等数学】第九章 多元函数微分法及其应用——第八节 多元函数的极值及其求法
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1. 二元函数的泰勒公式

• 二元函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的$n$阶泰勒公式
  设$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内连续且有$(n+1)$阶连续偏导数，$(x_0+h,y_0+k)$为此邻域内任一点，则有$$\begin{array}{rl}f(x_0+h,y_0+k)& =f(x_0,y_0)+\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)f(x_0,y_0)+\frac{1}{2!}{\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f(x_0,y_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n}f(x_0,y_0)+R_n,\\ R_n& =\frac{1}{(n+1)!}{\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)(0<\theta <1).\end{array}$$其中$R_n$称为拉格朗日余项
  记号$$\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)f(x_0,y_0)\to h{f}_x(x_0,y_0)+k{f}_y(x_0,y_0),$$ $${\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f(x_0,y_0)\to h^2{f}_{xx}(x_0,y_0)+2hk{f}_{xy}(x_0,y_0)+k^2{f}_{yy}(x_0,y_0),$$ $${\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{m}f(x_0,y_0)\to \sum _{p=0}^m{\mathrm{C}}_m^p{h}^p{k}^{m-p}{\frac{{\partial }^{m}f}{\partial x^p\partial y^{m-p}}|}_{(x_0,y_0)}.$$

  为了利用一元泰勒公式，引入函数$\Phi (t)=f(x_0+ht,y_0+kt)(0⩽t⩽1)$
  根据多元复合函数的求导法则，得到$\Phi (t)$的各阶导数：
  $\begin{array}{rl}{\Phi }^{\prime }(t)& =h{f}_x(x_0+ht,y_0+kt)+k{f}_y(x_0+ht,y_0+kt)\\ & =\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)f(x_0+ht,y_0+kt),\end{array}$
  $\begin{array}{r}{\Phi }^{\prime \prime }(t)={\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f(x_0+ht,y_0+kt),\end{array}$
  $\begin{array}{r}{\Phi }^{(n+1)}(t)={\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n+1}f(x_0+ht,y_0+kt),\end{array}$
  根据一元函数的麦克劳林公式，可以推得二元函数的泰勒公式

• 误差估计式
  函数的各$(n+1)$阶偏导数都连续，
  故它们的绝对值在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内都不超过某一正常数$M$．
  于是，有下面的误差估计式：$$\begin{array}{rl}|R_n|& ⩽\frac{M}{(n+1)!}(|h|+|k|{)}^{n+1}=\frac{M}{(n+1)!}{\rho }^{n+1}{\left(\frac{|h|}{\rho }+\frac{|k|}{\rho }\right)}^{n+1}\\ & ⩽\frac{M}{(n+1)!}(\sqrt{2}{)}^{n+1}{\rho }^{n+1}\end{array}$$其中$\rho =\sqrt{h^2+k^2}$．
  误差$|R_n|$是当$\rho \to 0$时比${\rho }^n$高阶的无穷小．
• 二元函数的拉格朗日中值公式
  对于二元函数的$n$阶泰勒公式，令$n=0$，可得二元函数的拉格朗日中值公式$$\begin{array}{rl}f(x_0+h,y_0+k)& =f(x_0,y_0)+h{f}_x(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+k{f}_y(x_0+\theta h,y_0+\theta k).\end{array}$$ 如果函数$f(x,y)$的偏导数$f_x(x,y)$、$f_y(x,y)$在某一区域内都恒等于零，
  那么函数$f(x,y)$在该区域内为一常数．

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