week3-[循环嵌套]好数

week3-[循环嵌套]好数

题目描述

如果一个正整数 $x$ 只有最左边一位不是 $0$，其余都是 $0$，那么称其为好数。例如 $4000$ 和 $2$ 都是好数，但是 $120$ 不是。

给定正整数 $n$，在 $1$ 到 $n$ 间有多少个数是好数？又有多少个数能表示为两个好数的和？

输入格式

输入共 $1$ 行 $1$ 个正整数 $n$。

输出格式

输出共 $2$ 行。

第 $1$ 行 $1$ 个整数表示有多少个数是好数。

第 $2$ 行 $1$ 个整数表示有多少个数能表示为两个好数之和。

样例 #1

样例输入 #1

15

样例输出 #1

10
14

提示

样例解释 $1$

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 都是好数。

数据范围

对于所有数据，$1\le n\le 10000$。

这题分两部分：统计好数 和 统计能表示为两个好数之和的数。

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🔎 分析

1️⃣ 什么是好数

• 定义：只有最左边一位不是 0，其余都是 0。
• 也就是形式为 d * 10^k，其中 d=1~9，k ≥ 0。
• 例子：
  • 2 → 好数
  • 10 → 好数
  • 120 → 不是好数

方法：

• 对 1~n 遍历：
  • 转字符串检查是否首位非零，其余都是零
  • 或者数学方法：判断 x 是否能被其首位数字后的 10 的幂整除

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2️⃣ 统计能表示为两个好数之和的数

• 先生成所有好数 good[] ≤ n
• 枚举所有两两组合 good[i] + good[j] ≤ n → 计数
• 注意：不同组合得到相同的和只算一次 → 用布尔数组 ok[1..n] 标记

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📝 C++ 实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;// 判断一个数是否为好数
bool isGood(int x) {while (x % 10 == 0 && x > 0) x /= 10; // 去掉末尾0return x >= 1 && x <= 9;               // 去掉末尾0后是否在1~9
}int main() {int n;cin >> n;vector<int> good;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (isGood(i)) good.push_back(i);}cout << good.size() << endl;vector<bool> can(n+1, false);for (int i = 0; i < good.size(); i++) {for (int j = i; j < good.size(); j++) {int sum = good[i] + good[j];if (sum <= n) can[sum] = true;}}int cnt = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) if (can[i]) cnt++;cout << cnt << endl;return 0;
}c++