数据结构——二叉树（Binary Tree）
一、二叉树（Binary Tree）
（一）基本概念
二叉树是每个节点最多有两个子节点的树结构，通常称为左子节点（left child）和右子节点（right child）。
（二）基本特性
节点结构：每个节点包含三个部分
数据域（存储节点的值）
左指针（指向左子节点）
右指针（指向右子节点）
基本性质：
第i层最多有2^(i-1)个节点
深度为k的二叉树最多有2^k - 1个节点
对于任何非空二叉树，叶节点数等于度为2的节点数加1
（三）常见类型
满二叉树：每一层的节点数都达到最大值
完全二叉树：除最后一层外其他层都是满的，且最后一层节点都靠左排列
二叉搜索树(BST)：左子树所有节点值小于根节点，右子树所有节点值大于根节点
平衡二叉树(AVL树)：任何节点的左右子树高度差不超过1
红黑树：自平衡的二叉搜索树，保证了最坏情况下的操作时间复杂度
（四）遍历方式
1. 基本概念
树的遍历是指按照某种顺序访问树中的所有节点，确保每个节点都被访问且仅被访问一次。根据访问顺序的不同。
2. 遍历类型
深度优先遍历(DFS)：
前序遍历：根→左→右
中序遍历：左→根→右
后序遍历：左→右→根
广度优先遍历(BFS)：
层次遍历：按从上到下、从左到右的顺序访问节点
3. 遍历方法详解
前序遍历（Preorder Traversal）
访问顺序：根节点 → 左子树 → 右子树
算法步骤：
访问根节点
前序遍历左子树
前序遍历右子树
示例： 对于二叉树：
A/ \B C/ \
D E
前序遍历结果为：A → B → D → E → C
中序遍历（Inorder Traversal）
访问顺序：左子树 → 根节点 → 右子树
算法步骤：
中序遍历左子树
访问根节点
中序遍历右子树
示例： 使用前例中的二叉树： 中序遍历结果为：D → B → E → A → C
后序遍历（Postorder Traversal）
访问顺序：左子树 → 右子树 → 根节点
算法步骤：
后序遍历左子树
后序遍历右子树
访问根节点
示例： 使用前例中的二叉树： 后序遍历结果为：D → E → B → C → A
层次遍历（Level Order Traversal）
按树的层次从上到下，从左到右访问节点
实现方法： 通常使用队列辅助实现：
将根节点入队
当队列不为空时：
出队一个节点并访问
将其左右子节点（如果存在）依次入队
示例： 使用前例中的二叉树： 层次遍历结果为：A → B → C → D → E
二、有序二叉树（Binary Search Tree）
（一）基本概念
有序二叉树（Binary Search Tree，BST）是一种特殊的二叉树数据结构，它具有以下关键特性：
有序性：对于树中的每个节点：
左子树中所有节点的值都小于该节点的值
右子树中所有节点的值都大于该节点的值
没有重复节点（可以有变体允许重复）
结构特性：
每个节点最多有两个子节点
通常包含三个属性：值、左子节点指针和右子节点指针
（二）基本操作
1. 查找操作
查找流程：
从根节点开始比较
如果查找值等于当前节点值，返回该节点
如果查找值小于当前节点值，递归查找左子树
如果查找值大于当前节点值，递归查找右子树
如果到达空节点，则查找失败
2. 插入操作
插入流程：
如果树为空，创建新节点作为根节点
否则，从根节点开始比较
如果插入值小于当前节点值：
如果左子节点为空，插入为左子节点
否则递归处理左子树
如果插入值大于当前节点值：
如果右子节点为空，插入为右子节点
否则递归处理右子树
3. 删除操作
删除有三种情况：
删除叶子节点：直接删除
删除有一个子节点的节点：用其子节点替换
删除有两个子节点的节点：
找到右子树的最小节点（或左子树的最大节点）
用该节点值替换要删除的节点值
递归删除该最小/最大节点
4. 遍历操作
三、实现示例（Java实现）
public class BinaryTree {public Node root;// 插入public void insert(int num) {Node node = new Node(num);if(root==null) {root=node;return;}Node index = root;while(true) {if(index.value>num) {if(index.left==null) {index.left=node;return;}index=index.left;}else {if(index.right==null) {index.right=node;return;}index=index.right;}}}// 遍历
// 先序遍历public void beforeOrder(Node node) {if(node==null) {return;}System.out.println(node.value);beforeOrder(node.left);beforeOrder(node.right);}// 中序遍历public void inOrder(Node node) {if(node==null) {return;}inOrder(node.left);System.out.println(node.value);inOrder(node.right);}// 后序遍历public void afterOrder(Node node) {if(node==null) {return;}afterOrder(node.left);afterOrder(node.right);System.out.println(node.value);} // 广度优先遍历public void levelOrder() {Queue<Node> queue = new LinkedList<Node>();queue.add(root);while(!queue.isEmpty()) {Node index = queue.poll();System.out.println(index.value);if(index.left!=null) {queue.add(index.left);}if(index.right!=null) {queue.add(index.right);}}}// 查找public Node search(int num) {if(root==null) {return null;}Node index = root;while(index!=null) {if(index.value==num) {//相等，找到了return index;}else if(index.value<num) {index = index.right;}else {index = index.left;}}return null;}// 找父级节点public Node searchParent(int num) {if(root.value==num) {//根节点的值和目标值相等return null;}Node index = root;while(index!=null) {if((index.left!=null&&index.left.value==num)||(index.right!=null&&index.right.value==num)) {return index;}else if(index.value>num) {index=index.left;}else {index=index.right;}}return null;}// 删除public void delete(int num) {//找目标节点Node target = search(num);if(target==null) {System.out.println("没有这个节点");return;}//找目标节点的父节点Node parent = searchParent(num);//删除if(target.left==null&&target.right==null) {//删除叶子节点//如果没有父节点if(parent==null) {root=null;return;}//如果有父节点//判断目标节点是左孩子还是右孩子if(parent.left!=null&&parent.left.value==num) {//左孩子parent.left = null;}else {//右孩子parent.right=null;}}else if (target.left!=null&&target.right!=null) {//删除有两颗子树的节点//目标节点右子树的最小值ֵNode index = target.right;while (index.left!=null) {index=index.left;}//最小值ֵint min = index.value;//先删除delete(min);//替换target.value = min;}else {//删除只有一颗子树的节点//没有父节点if(parent==null) {//判断目标节点是左孩子还是右孩子if(target.left!=null) {//左子树root = target.left;}else {//右子树root = target.right;}return;}//有父节点//判断目标节点是左孩子还是右孩子if(parent.left!=null&&parent.left.value==num) {//左孩子//判断目标节点有左子树还是右子树if(target.left!=null) {//左子树parent.left = target.left;}else {//右子树parent.left = target.right;}}else {//右孩子//判断目标节点有左子树还是右子树if(target.left!=null) {//左子树parent.right = target.left;}else {//右子树parent.right = target.left;}}}}@Overridepublic String toString() {return "BinaryTree [root=" + root + "]";}
}