从零开始理解 K 均值聚类：原理、实现与应用
一、什么是聚类？从 “物以类聚” 说起
聚类属于机器学习中的 “无监督学习”—— 也就是说，我们手里只有数据，没有提前标注的 “标签”（比如 “这是高消费客户”“这是低消费客户”）。聚类的核心思想很简单：让相似的样本聚在一起，不相似的样本分开。
举个例子，假设有 5 个样本（A、B、C、D、E），每个样本有两个特征（x₁和 x₂），数据如下：
| 样本 | x₁ | x₂ |
|---|---|---|
| A | 3 | 1 |
| B | 1 | 0 |
| C | 1 | 2 |
| D | 0 | 4 |
| E | 2 | 5 |
直观来看，A、B、C 的 x₁和 x₂数值更接近，D 和 E 的数值更接近，这就是聚类要捕捉的 “相似性”。
二、K 均值的核心：如何定义 “相似”？距离度量是关键
判断样本是否 “相似”，本质是计算样本间的 “距离”—— 距离越近，越相似。K 均值中最常用的距离度量有两种：
欧式距离：最直观的 “直线距离” 比如二维平面上两点 (x₁,y₁) 和 (x₂,y₂) 的欧式距离，就是我们初中学的 “两点间距离公式”： \(d = \sqrt{(x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²}\) 推广到 n 维空间，就是所有特征差值的平方和开根号。
曼哈顿距离：像出租车在网格状街道上行驶的 “实际距离” 二维平面上的公式为：\(d = |x₁-x₂| + |y₁-y₂|\)（只算水平和垂直方向的距离总和）。
三、K 均值算法步骤：4 步实现聚类
K 均值的核心是 “迭代优化”，通过 4 个步骤不断调整分组，直到结果稳定：
- 初始化聚类中心：随机选择 k 个样本作为初始 “中心”（k 是我们预设的聚类数量）。
- 分配样本：计算每个样本到 k 个中心的距离，把样本分到距离最近的中心所在的组。
- 更新中心：每个组内所有样本的 “均值”（比如 x₁的均值、x₂的均值）就是新的中心。
- 迭代收敛：重复步骤 2 和 3，直到中心不再明显变化（或达到最大迭代次数），此时的分组就是最终结果。
举个简单的例子：如果要把上述 5 个样本聚成 2 类（k=2），可能先随机选 A 和 D 作为初始中心，然后根据距离把 B、C 分到 A 组，E 分到 D 组，再重新计算两组的均值作为新中心，直到分组稳定。
四、如何评估聚类效果？CH 指标来帮忙
聚类的难点之一是 “怎么知道分的好不好”。K 均值中常用CH 指标（Calinski-Harabasz 指数）：
- 计算 “类内紧密度”：每个样本到所在组中心的距离平方和（越小越好）；
- 计算 “类间分离度”：各组中心到所有样本总中心的距离平方和（越大越好）；
- CH 指标 = （分离度 / 紧密度）× 调整系数，数值越大，说明聚类效果越好（类内越紧凑，类间越分散）。
五、K 均值的优缺点：适用场景与局限
- 优点：简单易实现，计算速度快，适合处理大规模常规数据集。
- 缺点：
- k 值需要人工预设（很难一开始就确定最佳 k）；
- 对初始中心敏感（不同初始中心可能得到不同结果）；
- 只能发现 “凸形” 簇（比如圆形、椭圆形），对不规则形状的簇（如月牙形）效果差。
六、实战：用 Python 实现 K 均值聚类
我们用 scikit-learn 库来实战，步骤如下：
- 生成模拟数据（用
make_blobs函数）：
from sklearn.datasets import make_blobs
import matplotlib.pyplot as plt# 生成3个簇的数据集，100个样本，2个特征
X, y_true = make_blobs(n_samples=100, n_features=2, centers=3, random_state=42)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=50) # 可视化原始数据
- 用 KMeans 聚类：
from sklearn.cluster import KMeanskmeans = KMeans(n_clusters=3, random_state=42) # 设定k=3
y_pred = kmeans.fit_predict(X) # 训练并预测分组# 可视化聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_pred, s=50, cmap='viridis')
centers = kmeans.cluster_centers_ # 提取最终聚类中心
plt.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], c='red', s=200, alpha=0.7, marker='X') # 标记中心
运行后，就能看到数据被分成 3 组，红色 “X” 是各组中心，效果一目了然。
总结
K 均值是聚类算法中的 “入门款”，凭借简单高效的特点，在客户分群、图像分割、异常检测等场景中广泛应用。但它也有局限，实际使用时需结合数据特点选择合适的距离度量和 k 值，必要时搭配其他聚类算法（如 DBSCAN）使用。下一篇，我们将聊聊如何通过 “组合多个模型” 提升预测能力 —— 集成学习的奥秘。