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蓝桥杯 Java B 组之区间调度、找零问题（理解贪心局限性）

news 来源：原创 2025/6/8 1:41:58

Day 1：区间调度、找零问题（理解贪心局限性）

📖 一、贪心算法简介

贪心算法（Greedy Algorithm） 是一种通过局部最优解来得到全局最优解的算法策略。它每一步选择当前最优的选择，而不考虑后续的选择。贪心算法适用于某些特定问题，能有效地简化问题的求解过程。

贪心算法的基本特点：

局部最优选择：每次选择问题中最优的解。
无后效性：每次的选择不会影响之前的选择。
全局最优解：当满足某些条件时，贪心策略会导致全局最优解。

贪心算法的核心步骤：

贪心选择：从当前状态中选择最优解。
可行性检查：检查当前选择是否满足问题的约束。
更新状态：做出选择后，更新问题的状态，继续执行下一步。

📖 二、区间调度问题（Activity Selection Problem）

问题描述：

假设有一个会议室，可以接待多个活动（每个活动有开始和结束时间）。我们需要选择尽可能多的活动，使得它们之间不冲突，即活动的开始时间不早于前一个活动的结束时间。

贪心策略：

每次选择结束时间最早的活动，因为这样可以腾出更多时间给后续活动，从而最大化能安排的活动数量。

步骤：

按照活动的结束时间对所有活动进行排序。
从第一个活动开始，选择第一个活动并安排。
对于每个后续活动，判断其开始时间是否大于等于已选活动的结束时间，若满足条件，选择该活动。

代码实现（活动选择问题）：

import java.util.*;

public class ActivitySelection {
    static class Activity {
        int start, end;
        public Activity(int start, int end) {
            this.start = start;
            this.end = end;
        }
    }

    public static void activitySelection(List<Activity> activities) {
        // 按照结束时间排序
        activities.sort(Comparator.comparingInt(a -> a.end));

        int count = 1; // 至少选择第一个活动
        int lastEndTime = activities.get(0).end; // 第一个活动结束时间

        System.out.println("选中的活动是：");
        System.out.println("开始时间: " + activities.get(0).start + " 结束时间: " + activities.get(0).end);

        // 遍历剩余的活动
        for (int i = 1; i < activities.size(); i++) {
            // 如果活动的开始时间 >= 上一个活动的结束时间，则选择该活动
            if (activities.get(i).start >= lastEndTime) {
                System.out.println("开始时间: " + activities.get(i).start + " 结束时间: " + activities.get(i).end);
                lastEndTime = activities.get(i).end;
                count++;
            }
        }

        System.out.println("最大活动数量为：" + count);
    }

    public static void main(String[] args) {
        List<Activity> activities = new ArrayList<>();
        activities.add(new Activity(1, 4));
        activities.add(new Activity(2, 6));
        activities.add(new Activity(5, 8));
        activities.add(new Activity(7, 9));
        activities.add(new Activity(8, 10));

        activitySelection(activities);
    }
}

代码讲解：

活动类 Activity：每个活动有一个开始时间和结束时间。
排序：首先按照结束时间对活动进行排序，目的是为了优先选择结束时间早的活动。
贪心选择：从第一个活动开始，依次选择那些开始时间不早于前一个选择活动的结束时间的活动。

📖 三、找零问题（Coin Change Problem）

问题描述：

给定一些硬币面额，和一个目标金额 amount，我们需要用最少的硬币组合成这个目标金额。例如，面额是 [1, 2, 5]，目标金额是 11，用最少的硬币组成 11。

贪心策略：

贪心算法并不适用于所有找零问题。有时贪心选择（选择最大的面额硬币）并不能得到最优解。

贪心策略的局限性：

贪心算法假设选择当前最优解最终能带来全局最优解，但在某些情况下，这种假设是不成立的。例如，面额为 [1, 3, 4]，目标金额为 6，贪心策略选择面额 4，然后剩余 2，而最优解应该选择 3 + 3，而非 4 + 1 + 1。

贪心策略不能保证最优解：

在找零问题中，贪心策略（选择最大面额硬币）在某些情况下不能得到最少硬币数。
需要考虑其他动态规划策略来确保得到最优解。

代码实现（找零问题）：

import java.util.*;

public class CoinChange {
    public static int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        Arrays.fill(dp, amount + 1); // 初始化为一个较大的值
        dp[0] = 0; // 0元需要0个硬币

        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            for (int coin : coins) {
                if (i - coin >= 0) {
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
                }
            }
        }

        return dp[amount] == amount + 1 ? -1 : dp[amount]; // 如果没有找到解，返回-1
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] coins = {1, 2, 5};
        int amount = 11;

        System.out.println("最少硬币数为: " + coinChange(coins, amount));
    }
}