差分约束.

差分约束

差分约束系统是一种特殊的 $n$ 元一次不等式组，它包含 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 以及 $m$ 个约束条件，每个约束条件是由其中的 两个变量做差 构成的，形如 $x_i-x_j\le c_k$，其中 $c_k$ 是常数且 $i\ne j$。

我们要解决的问题就是：求一组解 $x_1=a_1,x_2=a_2,\cdots ,x_n=a_n$，使得所有约束条件得到满足，或者判断出无解。

图论建模

差分约束系统中的每个约束条件 $x_i-x_j\le c_k$ 都可以变成 $x_i\le x_j+c_k$ 的形式，这与单源最短路中的 三角不等式 $dist[v]\le dist[u]+w$ 非常相似。

所以我们可以这样解释这个约束条件：源点到 $i$ 的最短距离，必然小于等于 源点到 $j$ 的距离 加上 $(i,j)$ 之间的 边权 $c_k$（$u$ 到 $v$ 是 单向边，边权为 $w$）。

显然，这样的条件在一个 具有最短路性质的图中 是必然成立的。

那么源点的选取可以简单一些，如我们令 $0$ 为 超级源点，且向所有结点连接一条边权为 $0$ 的单向边。

此时整个图连通，而具有最短路性质的图只需要判断图中是否有负环即可。

又因为 $dijkstra$ 只能用于处理非负权边的图，所以我们考虑用 $Bellman-Ford$ 算法。

简单介绍一下 $Bellman-Ford$ 算法。

首先令源点 $s$ 的最短路 $dist[s]=0$，其他的都是无穷大。

然后遍历所有的边 $(u,v)$，如果 $dist[u]$ 不是无穷大，并且满足 $dist[v]>dist[u]+w$，那么就代表能松弛。

我们遍历所有的边 $n-1$ 轮，因为 边的遍历顺序问题，所有的点最多需要 $n-1$ 轮才能松弛完。

边的遍历顺序问题指的是，整个图是一条链，且与源点有关的边被放在最后一条，以此类推。

所以一轮遍历只松弛了一个点，至多需要 $n-1$ 轮遍历 才能松弛所有点。

检查负环 的方法就是，当遍历了 $n-1$ 轮后，再遍历一轮，如果还能进行松弛，说明必然有负环。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#pragma GCC optimize(2)
#define int long long
#define endl '\n'
#define PII pair<int,int>
#define INF 1e18
const int N = 1e4;int dist[N], vis[N];
vector<PII> g[N];bool BellmanFord(int s, int n) {dist[s] = 0;bool flag = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {flag = 0;for (int u = 1; u <= n; u++) {for (auto [v, w] : g[u]) {if (dist[u] != INF && dist[v] > dist[u] + w) {dist[v] = dist[u] + w;flag = 1;}}}if (!flag) break;}return flag; // 如果 flag = 1，说明有负环，否则没有负环
}void slove () {int n, m;cin >> n >> m;while (m--) {int op, u, v, w;cin >> op;if (op == 1) {cin >> u >> v >> w;// dist[u] >= dist[v] + w// dist[v] <= dist[u] - wg[u].emplace_back(v, -w);} else if (op == 2) {cin >> u >> v >> w;// dist[u] - dist[v] <= w// dist[u] <= dist[v] + wg[v].emplace_back(u, w);} else {cin >> u >> v;g[u].emplace_back(v, 0);g[v].emplace_back(u, 0);}}for (int i = 1; i <= n; i++) {g[0].emplace_back(i, 0);}bool is_ok = BellmanFord(0, n);if (is_ok) cout << "No" << endl;else cout << "Yes" << endl;
}signed main () {ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);slove();
}