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概率论基础教程第2章概率论公理(习题和解答)

news 2025/8/17 15:08:59

习题

2.1

题目：一个盒子里有3个弹珠，红、绿和蓝各一个。先从中取出一个，再放回，然后再取出一个，试描述此样本空间。如果不放回呢？

答案：

(a) 有放回抽取的样本空间：
$S = \{(r,r), (r,g), (r,b), (g,r), (g,g), (g,b), (b,r), (b,g), (b,b)\}$
(b) 无放回抽取的样本空间：
$S = \{(r,g), (r,b), (g,r), (g,b), (b,r), (b,g)\}$

2.2

题目：连续掷一枚骰子，直到6出现，试验停止，试描述此样本空间。令 $E_n$ 表示"在试验停止时，一共掷了 $n$ 次"，那么样本空间的哪些结果包含在 $E_n$ 中？ $(⋃n=1∞En)c\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right)^c$ 的含义？

答案：

样本空间：
$\{(n, x_1, \ldots, x_{n-1}) \mid n \geq 1, x_i \neq 6, i = 1, \ldots, n-1\}$
其中结果 $x_1, \ldots, x_{n-1})$ 表示第一次出现6是在第 $n$ 次投掷，且前 $n - 1$ 次投掷结果分别为 $x1,…,xn−1x_1, \ldots, x_{n-1}$ 。
$E_n$ 包含的结果：第一次出现6是在第 $n$ 次投掷，且前 $n - 1$ 次都不是6。
$(⋃n=1∞En)c\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right)^c$ 表示6永远不出现的事件。

2.3

题目：掷两枚骰子，令 $E$ 表示事件"骰子的点数之和为奇数"，令 $F$ 表示"至少有一枚骰子的点数为 1"；令 $G$ 表示"骰子的点数之和为 5"。试描述事件 $EF$ ， $\cup F$ ， $FG$ ， $EF^c$ 和 $EFG$ 。

答案：

$EF = \{(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (4,1), (6,1)\}$
$\cup F$ ：点数和为奇数或至少有一个骰子是1
$FG = \{(1,4), (4,1)\}$
$EF^c$ ：没有骰子是1且点数和为奇数
$EFG = FG = \{(1,4), (4,1)\}$

2.4

题目：A, B, C三人轮流掷硬币，第一次出现正面朝上者为胜，我们用 0 表示"正面朝下"，1 表示"正面朝上"，试验的样本空间可表示为
$\{1, 01, 001, 0001, \ldots\} \cup \{0000\ldots\}$

(a) 试解释此样本空间
(b) 用样本空间 $S$ 表示以下事件：
- (i) A 胜了(记为 $A$ )
- (ii) B 胜了(记为 $B$ )
- (iii) $\cup B)^c$

答案：

(a) 样本空间 $S$ 表示所有可能的投掷序列，其中1表示第一次投掷就出现正面，01表示第一次投掷反面第二次投掷正面，以此类推。 $0000…0000\ldots$ 表示永远不出现正面的序列。
(b)
- (i) $\{1, 0001, 0000001, \ldots\}$ （A在第1, 4, 7, …次投掷获胜）
- (ii) $\{01, 00001, 00000001, \ldots\}$ （B在第2, 5, 8, …次投掷获胜）
- (iii) $\cup B)^c = \{0000\ldots, 001, 000001, \ldots\}$ （C获胜或永远不出现正面）

2.5

题目：一个系统包含5个元件，每个元件或者是好的或者是坏的。如果试验是观察各个元件的状态，用向量 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ 表示试验结果，其中 $x_i = 1$ 表示第 $i$ 个元件是好的， $x_i = 0$ 表示第 $i$ 个元件是坏的。

(a) 样本空间中一共有多少种结果？
(b) 如果元件 1 和 2 是好的，或者元件 3 和 4 是好的，或者元件 1, 3 和 5 都是好的，那么系统工作正常。令 $W$ 表示系统工作正常，写出 $W$ 包含的所有结果。
© 令 $A$ 表示元件 4 和 5 都是坏的，那么 $A$ 中一共有多少种结果？
(d) 写出事件 $A W$ 的所有结果。

答案：

(a) $2^5 = 32$ 种结果
(b) $W = \{(1,1,0,0,0), (1,1,0,0,1), (1,1,0,1,0), (1,1,0,1,1), (1,1,1,0,0), (1,1,1,0,1), (1,1,1,1,0), (1,1,1,1,1), (0,0,1,1,0), (0,0,1,1,1), (1,0,1,0,1)\}$
© $A$ 中有 $2^3 = 8$ 种结果（因为元件4和5固定为0，其他3个元件各有2种状态）
(d) $AW = \{(1,1,0,0,0), (1,1,1,0,0)\}$

2.6

题目：医院管理系统对前来治疗的受枪伤病人进行编号，其依据为是否买了保险（如果买了保险，则记为 1，否则记为 0）以及他们的身体状况（如果良好，就记为 g，如果一般，就记为 f，如果严重，就记为 s）。试验是观察病人的编号。

(a) 给出试验的样本空间
(b) 令 $A$ 表示"病人病情很严重"，列出 $A$ 中的所有结果
© 令 $B$ 表示"病人没有买保险"，列出 $B$ 中的所有结果
(d) 列出事件 $\cup A$ 中的所有结果

答案：

(a) $S = \{(1,g), (0,g), (1,f), (0,f), (1,s), (0,s)\}$
(b) $A = \{(1,s), (0,s)\}$
© $B = \{(0,g), (0,f), (0,s)\}$
(d) $\cup A = \{(1,s), (0,s), (0,g), (0,f)\}$

2.7

题目：试验是调查一个业余足球队里15名球员的工作（是蓝领还是白领）和政治面貌（是共和党、民主党还是无党派）。

(a) 样本空间中一共多少结果？
(b) "至少有一个队员是蓝领"的事件中有多少结果？
© "队员里没有人是无党派人士"的事件中有多少结果？

答案：

(a) 每个球员有 $\times 3 = 6$ 种可能，所以样本空间有 $6^{15}$ 种结果
(b) “至少有一个队员是蓝领” = $6^{15} - 3^{15}$ （总结果减去全是白领的结果）
© “队员里没有人是无党派人士”：每个球员有 $\times 2 = 4$ 种可能，所以有 $4^{15}$ 种结果

2.8

题目：设事件 $A$ 和 $B$ 是互不相容的，且 $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.5$ ，求以下事件的概率。

(a) $A$ 或者 $B$ 发生
(b) $A$ 发生但 $B$ 不发生
© $A$ 和 $B$ 都发生

答案：

(a) $\cup B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.5 = 0.8$
(b) $\cap B^c) = P(A) = 0.3$ （因为 $A$ 和 $B$ 互不相容）
© $\cap B) = 0$ （因为 $A$ 和 $B$ 互不相容）

2.9

题目：某零售店既接受运通卡也接受维萨卡。它的顾客中有 24% 的人持有运通卡，有 61% 的人持有维萨卡，11% 的人持有两种卡，问至少持有一张卡的顾客百分比是多少？

答案：
设 $A$ 表示持有运通卡的事件， $V$ 表示持有维萨卡的事件。
$\cup V) = P(A) + P(V) - P(A \cap V) = 0.24 + 0.61 - 0.11 = 0.74$
所以至少持有一张卡的顾客百分比是 74%。

2.10

题目：某个学校有 60% 的学生既不戴耳环又不戴项链，有 20% 的学生戴耳环，有 30% 的学生戴项链。如果随机挑一个学生，求符合以下条件的概率：

(a) 戴耳环或者项链
(b) 既戴耳环也戴项链

答案：
设 $R$ 表示戴耳环的事件， $N$ 表示戴项链的事件。

(a) $\cup N) = 1 - P((R \cup N)^c) = 1 - 0.6 = 0.4$
(b) $\cup N) = P(R) + P(N) - P(R \cap N)$
$\cap N)$
$\cap N) = 0.1$

2.11

题目：美国男性中有 28% 的人抽烟，7% 的人抽雪茄，5% 的人既抽烟也抽雪茄。

(a) 既不抽烟也不抽雪茄的男性百分比是多少？
(b) 只抽雪茄但不抽烟的男性百分比是多少？

答案：
设 $A$ 表示抽烟的事件， $B$ 表示抽雪茄的事件。

(a) $\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.28 + 0.07 - 0.05 = 0.30$
$\cup B)^c) = 1 - 0.30 = 0.70$ ，所以是 70%
(b) $P(Ac∩B)=P(B)−P(A∩B)=0.07−0.05=0.02P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.07 - 0.05 = 0.02$ ，所以是 2%

2.12

题目：某所小学有三个语言班：一个是西班牙语班，一个是法语班，还有一个是德语班。这些语言班对学校里的 100 个学生开放，有 28 人参加西班牙语班，有 26 人参加法语班，有 16 人参加德语班。有 12 人既参加西班牙语班也参加法语班，有 4 人既参加西班牙语班也参加德语班，有 6 人既参加法语班也参加德语班。另外，有 2 人三个班都参加。

(a) 随机选一名学生，他不参加任何班的概率是多大？
(b) 随机选一名学生，他恰好参加一个班的概率是多大？
© 随机选两名学生，其中至少有一人参加语言班的概率是多大？

答案：
设 $S$ 表示参加西班牙语班， $F$ 表示参加法语班， $G$ 表示参加德语班。

(a) $\cup F \cup G| = 28 + 26 + 16 - 12 - 4 - 6 + 2 = 50$
不参加任何班的学生有 50 人，概率 = $50/100 = 0.5$
(b) 恰好参加一个班的人数：
- 只参加 $S$ ： $28 - 12 - 4 + 2 = 14$
- 只参加 $F$ ： $26 - 12 - 6 + 2 = 10$
- 只参加 $G$ ： $16 - 4 - 6 + 2 = 8$
  总计 32 人，概率 = $32/100 = 0.32$
© 不参加任何班的学生有 50 人。
两人都不参加语言班的概率 = $(502)/(1002)=49/198\binom{50}{2}/\binom{100}{2} = 49/198$
至少有一人参加语言班的概率 = $1 - 49/198 = 149/198$

2.13

题目：某个人口规模为 100,000 的城市有三份报纸 I、II 和 III，以下是对读报人群比例的调查结果：
I: 10%；I 和 II: 8%；I、II 和 III: 1%；
II: 30%；I 和 III: 2%；
III: 5%；II 和 III: 4%。

(a) 求仅仅读一份报纸的人数
(b) 有多少人至少读两份报纸？
© 如果 I 和 III 是早报，而 II 是晚报，那么至少读一份早报和一份晚报的人数为多少？
(d) 有多少人不读报纸？
(e) 有多少人仅读一份早报和一份晚报？

答案：
设 $I$ 表示读报纸 I， $II$ 表示读报纸 II， $III$ 表示读报纸 III。

(a) 仅仅读一份报纸：
- 只读 I： $0.1 - 0.08 - 0.02 + 0.01 = 0.01$ → 1,000 人
- 只读 II： $0.3 - 0.08 - 0.04 + 0.01 = 0.19$ → 19,000 人
- 只读 III： $0.05 - 0.02 - 0.04 + 0.01 = 0.00$ → 0 人
  总计 20,000 人
(b) 至少读两份报纸： $\times 0.01 = 0.12$ → 12,000 人
© 至少读一份早报和一份晚报： $\cup III) \cap II$
$P = 0.08 + 0.04 - 0.01 = 0.11$ → 11,000 人
(d) 不读报纸： $1 - (0.1 + 0.3 + 0.05 - 0.08 - 0.02 - 0.04 + 0.01) = 0.68$ → 68,000 人
(e) 仅读一份早报和一份晚报：
- 读 I 和 II，但不读 III： $0.08 - 0.01 = 0.07$ → 7,000 人
- 读 III 和 II，但不读 I： $0.04 - 0.01 = 0.03$ → 3,000 人
  总计 10,000 人

2.14

题目：对某份杂志的 1000 名订阅者的调查给出了如下数据：关于工作、婚姻和教育状况，有 312 名专业人士，470 名已婚人士，525 名大学毕业生，42 名大学毕业的专业人员，147 名已婚大学毕业生，86 名已婚专业人员，25 名已婚且大学毕业的专业人员。证明这些数据是不正确的。

答案：
设 $M, W, G$ 分别表示专业人员、已婚人士及大学毕业生的集合。
$\cup W \cup G) = 0.312 + 0.470 + 0.525 - 0.086 - 0.042 - 0.147 + 0.025 = 1.057 > 1$
概率不可能大于 1，因此这些数据不正确。

2.15

题目：从 52 张牌里随机取 5 张，求以下事件概率：

(a) 同花（即 5 张牌同一花色）
(b) 一对（5 张牌为 a, a, b, c, d 形式，其中 a, b, c, d 各不相同）
© 两对（5 张牌为 a, a, b, b, c 形式，其中 a, b, c 各不相同）
(d) 三张一样（5 张牌为 a, a, a, b, c 形式，其中 a, b, c 各不相同）
(e) 四张一样（5 张牌为 a, a, a, a, b 形式，其中 a, b 不相同）

答案：
总可能结果： $(525)\binom{52}{5}$

(a) $P(同花)=4×(135)(525)P(\text{同花}) = \dfrac{4 \times \binom{13}{5}}{\binom{52}{5}}$
(b) $P(一对)=13×(42)×(123)×43(525)P(\text{一对}) = \dfrac{13 \times \binom{4}{2} \times \binom{12}{3} \times 4^3}{\binom{52}{5}}$
© $P(两对)=(132)×(42)2×11×4(525)P(\text{两对}) = \dfrac{\binom{13}{2} \times \binom{4}{2}^2 \times 11 \times 4}{\binom{52}{5}}$
(d) $P(三张一样)=13×(43)×(122)×42(525)P(\text{三张一样}) = \dfrac{13 \times \binom{4}{3} \times \binom{12}{2} \times 4^2}{\binom{52}{5}}$
(e) $P(四张一样)=13×(44)×48(525)P(\text{四张一样}) = \dfrac{13 \times \binom{4}{4} \times 48}{\binom{52}{5}}$

2.16

题目：同时掷 5 枚骰子，证明：

(a) $P{每枚的点数都不一样}=0.0926P\{\text{每枚的点数都不一样}\}=0.0926$
(b) $P{一对的点数}=0.4630P\{\text{一对的点数}\}=0.4630$
© $P{两对的点数}=0.2315P\{\text{两对的点数}\}=0.2315$
(d) $枚的点数一样}=0.1543P\{\text{3 枚的点数一样}\}=0.1543$
(e) $枚的点数也一样}=0.0386P\{\text{3 枚的点数一样且另外 2 枚的点数也一样}\}=0.0386$
(f) $枚的点数一样}=0.0193P\{\text{4 枚的点数一样}\}=0.0193$
(g) $枚的点数一样}=0.0008P\{\text{5 枚的点数一样}\}=0.0008$

答案：
总可能结果： $6^5 = 7776$

(a) $\dfrac{P(6,5)}{6^5} = \dfrac{720}{7776} \approx 0.0926$
(b) $\dfrac{6 \times \binom{5}{2} \times P(5,3)}{6^5} = \dfrac{3600}{7776} \approx 0.4630$
© $\dfrac{\binom{6}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{2} \times 4}{6^5} = \dfrac{1800}{7776} \approx 0.2315$
(d) $\dfrac{6 \times \binom{5}{3} \times P(5,2)}{6^5} = \dfrac{1200}{7776} \approx 0.1543$
(e) $\dfrac{6 \times \binom{5}{3} \times 5}{6^5} = \dfrac{300}{7776} \approx 0.0386$
(f) $\dfrac{6 \times \binom{5}{4} \times 5}{6^5} = \dfrac{150}{7776} \approx 0.0193$
(g) $\dfrac{6}{6^5} = \dfrac{6}{7776} \approx 0.0008$

2.18

题目：从一副洗好的扑克牌里随机挑两张，恰好配成黑杰克(blackjack)的概率是多大？（所谓黑杰克，就是其中有一张 A，另一张是 10, J, Q, K 中任一张。）

答案：

一副牌有 52 张，有 4 张 A 和 16 张 10/J/Q/K（每种花色有 4 张 10/J/Q/K）
选两张牌的总方式： $(522)=1326\binom{52}{2} = 1326$
黑杰克的可能方式： $\times 16 = 64$ 种
概率为：
$\frac{64}{\binom{52}{2}} = \frac{64}{1326} = \frac{32}{663} \approx 0.0483$

2.19

题目：两枚同样的骰子，各有两面涂成了红色，两面涂成了蓝色，一面涂成了黄色，剩下一面涂成了白色。同时掷这两枚骰子，问出现同一种颜色的概率是多大？

答案：

每个骰子有 6 面：2 红、2 蓝、1 黄、1 白
总可能结果： $\times 6 = 36$
同色结果：
- 两红： $\times 2 = 4$
- 两蓝： $\times 2 = 4$
- 两黄： $\times 1 = 1$
- 两白： $\times 1 = 1$
同色总结果： $4 + 4 + 1 + 1 = 10$
概率为：
$\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

2.20

题目：假设你正在和庄家玩黑杰克，对于一副洗好的扑克牌，你和庄家都分不到黑杰克的概率是多大？

答案：

设 $A$ 表示"你得到黑杰克"， $B$ 表示"庄家得到黑杰克"
$\dfrac{4 \times 16}{\binom{52}{2}} = \dfrac{64}{1326}$
$\dfrac{4 \times 16 \times 3 \times 15}{52 \times 51 \times 50 \times 49} = \dfrac{2880}{6497400} \approx 0.000443$
你或庄家至少一人得到黑杰克的概率：
$\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \approx 0.0483 + 0.0483 - 0.000443 = 0.096157$
你们都分不到黑杰克的概率：
$P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) \approx 1 - 0.096157 = 0.903843$

2.21

题目：一个小型社区由 20 个家庭组成，其中只有一个小孩的家庭有 4 个，有 2 个小孩的家庭有 8 个，有 3 个小孩的家庭有 5 个，有 4 个小孩的家庭有 2 个，有 5 个小孩的家庭有 1 个。

(a) 如果随机选取一个家庭，它有 $i$ 个孩子的概率是多大？ $i = 1, 2, 3, 4, 5$ 。
(b) 如果随机选取一个孩子，孩子来自有 $i$ 个孩子的家庭的概率是多大？ $i = 1, 2, 3, 4, 5$ 。

答案：

(a) 总家庭数：20
- $\dfrac{4}{20} = 0.2$
- $\dfrac{8}{20} = 0.4$
- $\dfrac{5}{20} = 0.25$
- $\dfrac{2}{20} = 0.1$
- $\dfrac{1}{20} = 0.05$
(b) 总孩子数： $\times 1 + 8 \times 2 + 5 \times 3 + 2 \times 4 + 1 \times 5 = 48$
- $\dfrac{4}{48} = \dfrac{1}{12} \approx 0.0833$
- $\dfrac{16}{48} = \dfrac{1}{3} \approx 0.3333$
- $\dfrac{15}{48} = \dfrac{5}{16} = 0.3125$
- $\dfrac{8}{48} = \dfrac{1}{6} \approx 0.1667$
- $\dfrac{5}{48} \approx 0.1042$

2.22

题目：对于 $n$ 张扑克牌，有一种洗牌技术：考虑第一张，掷一枚硬币，如果硬币出现正面，这张牌仍留原位；如果硬币是反面，将这张牌放到所有牌的最后。接着考虑第二张牌，规则相同。硬币掷了 $n$ 次后，完成一轮洗牌。假设硬币均匀且独立，求洗牌后仍保持原来次序的概率。

答案：

要保持原次序，必须满足：对于某个 $k$ （ $\leq k \leq n$ ），前 $k$ 次硬币投掷都是正面，后 $n - k$ 次都是反面
对于每个 $k$ ，这种情况的概率是 $(12)n\left(\frac{1}{2}\right)^n$
有 $n + 1$ 种可能的 $k$ 值（ $\ldots, n$ ）
所以总概率为：
$\times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{n+1}{2^n}$

2.23

题目：同时掷两枚均匀骰子，问第二枚骰子的点数大于第一枚骰子的点数的概率是多大？

答案：

总可能结果： $\times 6 = 36$
第二枚点数大于第一枚的结果：
- 第二枚为 2：第一枚为 1 → 1 种
- 第二枚为 3：第一枚为 1,2 → 2 种
- 第二枚为 4：第一枚为 1,2,3 → 3 种
- 第二枚为 5：第一枚为 1,2,3,4 → 4 种
- 第二枚为 6：第一枚为 1,2,3,4,5 → 5 种
总共有 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ 种结果
概率为：
$\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

2.24

题目：同时掷两枚骰子，骰子点数之和为 $i$ 的概率是多大？并求出 $\ldots, 11, 12$ 时的值。

答案：

总可能结果： $\times 6 = 36$
点数和为 $i$ 的概率：
- $i = 2$ : $136≈0.0278\dfrac{1}{36} \approx 0.0278$
- $i = 3$ : $236=118≈0.0556\dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18} \approx 0.0556$
- $i = 4$ : $336=112≈0.0833\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12} \approx 0.0833$
- $i = 5$ : $436=19≈0.1111\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \approx 0.1111$
- $i = 6$ : $536≈0.1389\dfrac{5}{36} \approx 0.1389$
- $i = 7$ : $636=16≈0.1667\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx 0.1667$
- $i = 8$ : $536≈0.1389\dfrac{5}{36} \approx 0.1389$
- $i = 9$ : $436=19≈0.1111\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \approx 0.1111$
- $i = 10$ : $336=112≈0.0833\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12} \approx 0.0833$
- $i = 11$ : $236=118≈0.0556\dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18} \approx 0.0556$
- $i = 12$ : $136≈0.0278\dfrac{1}{36} \approx 0.0278$

2.25

题目：同时掷两枚骰子，直到骰子点数之和为 5 或 7 出现，求和为 5 先出现的概率。

答案：

点数和为 5 的概率： $\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$
点数和为 7 的概率： $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$
点数和既不是 5 也不是 7 的概率： $P(其他)=1−19−16=1318P(\text{其他}) = 1 - \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{13}{18}$
令 $E_n$ 表示第 $n$ 次掷骰子出现和为 5，但此前 $n - 1$ 次既不出现和为 5 也不出现和为 7
$P(En)=(1318)n−1⋅19P(E_n) = \left(\dfrac{13}{18}\right)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{9}$
所求概率：
$\sum_{n=1}^{\infty} P(E_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{13}{18}\right)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{1}{1 - \frac{13}{18}} = \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{18}{5} = \dfrac{2}{5}$

2.26

题目：Craps 赌博规则如下：先掷两枚骰子，如果和为 2, 3 或 12，那么他便输了；如果和为 7 或 11，那么他便赢了。如果和为其他，则由他继续掷骰子，一直到第一次掷出的和数再次出现，或者出现和为 7。若出现的是 7，则他输了，若出现的是第一次掷出的和数，则他赢了。求他赢的概率。

答案：

设 $E_i$ 表示第一次掷骰子和为 $i$ 且最终赢
$P(E_2) = P(E_3) = P(E_{12}) = 0$ （第一次掷就输）
$P(E_7) = P(E_{11}) = 1$ （第一次掷就赢）
对于其他 $i$ ， $i)P(E_i) = P(\text{第一次掷出 } i) \times P(\text{在 7 出现前再次掷出 } i)$
$i)=P(i)P(i)+P(7)P(\text{在 7 出现前再次掷出 } i) = \dfrac{P(i)}{P(i) + P(7)}$
计算：
- $\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$ ， $P(E4)=P(E10)=112⋅1/121/12+1/6=136P(E_4) = P(E_{10}) = \dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{1/12}{1/12 + 1/6} = \dfrac{1}{36}$
- $\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$ ， $P(E5)=P(E9)=19⋅1/91/9+1/6=245P(E_5) = P(E_9) = \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{1/9}{1/9 + 1/6} = \dfrac{2}{45}$
- $\dfrac{5}{36}$ ， $P(E6)=P(E8)=536⋅5/365/36+1/6=25396P(E_6) = P(E_8) = \dfrac{5}{36} \cdot \dfrac{5/36}{5/36 + 1/6} = \dfrac{25}{396}$
总赢的概率：
$P(\text{赢}) = \dfrac{8}{36} + 2\left[\dfrac{1}{36} + \dfrac{2}{45} + \dfrac{25}{396}\right] = \dfrac{244}{495} \approx 0.4929$

2.27

题目：坛子里有 3 个红球和 7 个黑球，玩家 A 和 B 从坛子里交替拿球，直到有人拿到红球，求 A 取到红球的概率。

答案：

A 在第 1 次取到红球的概率： $310\dfrac{3}{10}$
A 在第 3 次取到红球的概率： $710×69×38=740\dfrac{7}{10} \times \dfrac{6}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{7}{40}$
A 在第 5 次取到红球的概率： $710×69×58×47×36=112\dfrac{7}{10} \times \dfrac{6}{9} \times \dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} \times \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{12}$
A 在第 7 次取到红球的概率： $710×69×58×47×36×25×34=140\dfrac{7}{10} \times \dfrac{6}{9} \times \dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} \times \dfrac{3}{6} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{40}$
A 取到红球的总概率：
$\dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{40} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{40} = \dfrac{70}{120} = \dfrac{7}{12}$

2.28

题目：坛子里有 5 个红球、6 个蓝球和 8 个绿球。随机取 3 个球，求：

(a) 三个球是同一种颜色
(b) 三个球是不同的颜色
假设取球后，记下颜色再放回，重新计算以上事件的概率。

答案：

无放回抽样：
- (a) $P(同色)=(53)+(63)+(83)(193)P(\text{同色}) = \dfrac{\binom{5}{3} + \binom{6}{3} + \binom{8}{3}}{\binom{19}{3}}$
- (b) $P(不同色)=(51)(61)(81)(193)P(\text{不同色}) = \dfrac{\binom{5}{1}\binom{6}{1}\binom{8}{1}}{\binom{19}{3}}$
有放回抽样：
- (a) $P(同色)=53+63+83193P(\text{同色}) = \dfrac{5^3 + 6^3 + 8^3}{19^3}$
- (b) $P(不同色)=6×5×6×8193P(\text{不同色}) = \dfrac{6 \times 5 \times 6 \times 8}{19^3}$ （因为有 3! = 6 种顺序）

2.29

题目：坛子里有 $n$ 个白球和 $m$ 个黑球。

(a) 随机取两个球，它们为同一种颜色的概率是多少？
(b) 如果随机取一个球，然后放回再第二次取球，取出的两个球为同一种颜色的概率是多少？
© 证明 (b) 的概率始终大于 (a) 的概率。

答案：

(a) 无放回： $\dfrac{n(n-1) + m(m-1)}{(n+m)(n+m-1)}$
(b) 有放回： $\dfrac{n^2 + m^2}{(n+m)^2}$
© 证明：
$\dfrac{n^2 + m^2}{(n+m)^2} - \dfrac{n(n-1) + m(m-1)}{(n+m)(n+m-1)} = \dfrac{2nm}{(n+m)^2(n+m-1)} > 0$
所以 (b) 的概率大于 (a) 的概率。

2.30

题目：两所学校棋类俱乐部分别有 8 名和 9 名棋手，各随机选 4 名参加对抗赛。选出的棋手随机配对。丽贝卡和妹妹伊莉斯分别在这两所学校，求：

(a) 她们正好配成一对
(b) 她们都被选出，但没有配成一对
© 只有一人被选出

答案：

(a) $\dfrac{4}{8} \times \dfrac{4}{9} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{18}$
(b) $\dfrac{4}{8} \times \dfrac{4}{9} - \dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{6}$
© $\dfrac{4}{8} \times \dfrac{5}{9} + \dfrac{4}{8} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{2}$

2.31

题目：一个 3 人篮球队包括 1 个后卫、1 个前锋和 1 个中锋。

(a) 从 3 个这样的篮球队里分别选一人，正好组成一个新篮球队的概率是多少？
(b) 选出来的 3 人是打同一位置的概率是多大？

答案：

(a) $\dfrac{3!}{3^3} = \dfrac{6}{27} = \dfrac{2}{9}$
(b) $\dfrac{3}{3^3} = \dfrac{1}{9}$

2.32

题目： $b$ 个男孩， $g$ 个女孩，随机站成一排。第 $i$ 个位置站的是女孩的概率是多少？

答案：

概率为：
$\frac{g(b+g-1)!}{(b+g)!} = \frac{g}{b+g}$
与位置 $i$ 无关。

2.33

题目：树林里有 20 只麋鹿，捉住 5 只贴标签后放回。一段时间后，再捉住 4 只麋鹿。其中两只贴了标签的概率是多少？假设是什么？

答案：

假设：麋鹿均匀分布，且标签不影响捕捉概率
概率为：
$\frac{\binom{5}{2}\binom{15}{2}}{\binom{20}{4}} = \frac{10 \times 105}{4845} = \frac{70}{323}$

2.34

题目：一手桥牌（13 张）里没有 9 以上牌（即只有 2-9）的概率是多少？

答案：

概率为：
$\frac{\binom{32}{13}}{\binom{52}{13}}$
其中 32 是 9 以下的牌数（2-9，每种花色 8 张）。

2.35

题目：坛子里有 12 个红球、16 个蓝球和 18 个绿球，随机取 7 个球，求：

(a) 取出 3 个红球、2 个蓝球和 2 个绿球
(b) 取出至少 2 个红球
© 所有球颜色相同
(d) 取出 3 个红球或者 3 个蓝球

答案：

(a) $\dfrac{\binom{12}{3}\binom{16}{2}\binom{18}{2}}{\binom{46}{7}}$
(b) $\dfrac{\binom{12}{0}\binom{34}{7}}{\binom{46}{7}} - \dfrac{\binom{12}{1}\binom{34}{6}}{\binom{46}{7}}$
© $\dfrac{\binom{12}{7} + \binom{16}{7} + \binom{18}{7}}{\binom{46}{7}}$
(d) $\dfrac{\binom{12}{3}\binom{34}{4}}{\binom{46}{7}} + \dfrac{\binom{16}{3}\binom{30}{4}}{\binom{46}{7}} - \dfrac{\binom{12}{3}\binom{16}{3}\binom{18}{1}}{\binom{46}{7}}$

2.36

题目：从 52 张牌里随机取 2 张，求：

(a) 都是 A
(b) 点数相同

答案：

(a) $\dfrac{\binom{4}{2}}{\binom{52}{2}} = \dfrac{6}{1326} \approx 0.0045$
(b) $\dfrac{13 \times \binom{4}{2}}{\binom{52}{2}} = \dfrac{78}{1326} = \dfrac{1}{17} \approx 0.0588$

2.37

题目：老师留 10 道题，考试选 5 道。学生解出 7 道，求：

(a) 能解出所有 5 道考试题
(b) 至少能解出其中 4 道题

答案：

(a) $\dfrac{\binom{7}{5}}{\binom{10}{5}} = \dfrac{21}{252} = \dfrac{1}{12} \approx 0.0833$
(b) $\dfrac{\binom{7}{4}\binom{3}{1}}{\binom{10}{5}} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{105}{252} + \dfrac{21}{252} = \dfrac{1}{2}$

2.38

题目：抽屉里有 $n$ 只袜子，其中 3 只是红的。随机取两只，同为红色的概率为 1/2，求 $n$ 的值。

答案：

$\dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{n}{2}} = \dfrac{3}{n(n-1)/2} = \dfrac{6}{n(n-1)} = \dfrac{1}{2}$
解得： $n (n - 1) = 12$ ， $n = 4$ （因为 $n > 0$ ）

2.39

题目：城镇有 5 个旅馆，3 人入住，正好住进不同旅馆的概率是多少？假设是什么？

答案：

假设：每个人随机选择旅馆，且选择独立
概率为：
$\frac{5 \times 4 \times 3}{5^3} = \frac{60}{125} = \frac{12}{25} = 0.48$

2.40

题目：城镇有4人修理电视机，4台坏电视机，求正好有 $i$ 人被要求参与修理的概率。

这道题的核心是：有4台坏电视机，每台都需要找一个修理人（从4个修理人中选择）。我们需要计算恰好有 $i$ 个不同修理人被选中的概率，其中 $i = 1, 2, 3, 4$ 。

基本假设

每台电视机随机选择修理人：每台电视机独立地从4个修理人中等概率地选择一个
选择独立：一台电视机的选择不影响其他电视机的选择

总可能结果

每台电视机有4种选择，4台电视机共有：
$4^4 = 256$
种可能的分配方式。

详细计算

$P\{1\}$ ：恰好只有1人被要求参与修理

含义：4台电视机都选择了同一个修理人
计算：
- 有4种可能（都选修理人A，都选B，都选C，都选D）
- 所以符合条件的结果数为：4
概率：
$P\{1\} = \frac{4}{4^4} = \frac{4}{256} = \frac{1}{64}$

$P\{2\}$ ：恰好只有2人被要求参与修理

含义：4台电视机只分配给了2个不同的修理人（不是1个，也不是3个或4个）
计算：
1. 从4个修理人中选择2个： $(42)=6\binom{4}{2} = 6$ 种方式
2. 将4台电视机分配给这2个修理人，但不能全部分配给其中1个（否则就是 $P\{1\}$ 的情况了）
  - 对于2个修理人，每台电视机有2种选择，总分配方式： $2^4 = 16$
  - 其中2种方式是全部分配给第1个修理人或全部分配给第2个修理人
  - 所以有效分配方式： $2^4 - 2 = 14$
3. 符合条件的总结果数： $(42)×(24−2)=6×14=84\binom{4}{2} \times (2^4 - 2) = 6 \times 14 = 84$
概率：
$P\{2\} = \frac{84}{256} = \frac{21}{64}$

$P\{3\}$ ：恰好只有3人被要求参与修理

含义：4台电视机分配给了3个不同的修理人（不是1个，不是2个，也不是4个）
计算：
1. 从4个修理人中选择3个： $(43)=4\binom{4}{3} = 4$ 种方式
2. 从4台电视机中选择2台分配给同一个修理人： $(42)=6\binom{4}{2} = 6$ 种方式
  - （因为4台电视机分配给3个修理人，必然有1个修理人修理2台，其他2个修理人各修理1台）
3. 将这3个修理人分配给3组电视机（1组有2台，2组各有1台）： $3! = 6$ 种方式
4. 符合条件的总结果数： $(43)×(42)×3!=4×6×6=144\binom{4}{3} \times \binom{4}{2} \times 3! = 4 \times 6 \times 6 = 144$
概率：
$P\{3\} = \frac{144}{256} = \frac{9}{16}$

$P\{4\}$ ：恰好只有4人被要求参与修理

含义：4台电视机分配给了4个不同的修理人（每个修理人修理1台）
计算：
- 这相当于4个修理人的排列： $4! = 24$ 种方式
概率：
$P\{4\} = \frac{4!}{4^4} = \frac{24}{256} = \frac{3}{32}$

验证

检查所有概率之和是否为1：
$\frac{4}{256} + \frac{84}{256} + \frac{144}{256} + \frac{24}{256} = \frac{256}{256} = 1$

2.41

题目：掷一枚骰子 4 次，至少出现一次 6 的概率是多大？

答案：

概率为：
$\left(\frac{5}{6}\right)^4$

2.42

题目：连续掷两枚骰子 $n$ 次，双 6 至少出现一次的概率。要使此概率 ≥ 1/2， $n$ 至少要多大？

答案：

概率为：
$\left(\frac{35}{36}\right)^n$
解不等式：
$\left(\frac{35}{36}\right)^n \geq \frac{1}{2} \implies \left(\frac{35}{36}\right)^n \leq \frac{1}{2}$
$\geq \dfrac{\ln(1/2)}{\ln(35/36)} \approx 24.58$ ，所以 $n$ 至少为 25

2.43

题目： $N$ 个人随机排成一排，A 和 B 紧挨着的概率是多少？排成一圈呢？

答案：

排成一排：
$\frac{2(N-1)!}{N!} = \frac{2}{N}$
排成一圈：
$\frac{2(N-2)!}{(N-1)!} = \frac{2}{N-1}$

排成一排的情况：

总排列方式： $N!$
将A和B视为一个整体（“块”），则相当于有 $(N - 1)$ 个元素需要排列
这 $(N - 1)$ 个元素的排列方式有 $(N - 1)!$ 种
在A和B组成的"块"内部，A可以在B的左边或右边，有 $2$ 种排列方式
因此，A和B紧挨着的排列方式总数为 $\times (N-1)!$
概率为：
$\frac{2 \times (N-1)!}{N!} = \frac{2}{N}$

排成一圈的情况：

圆排列的总方式： $(N - 1)!$ （固定一个人的位置消除旋转对称性）
将A和B视为一个整体，相当于有 $(N - 1)$ 个元素需要排列成一个圆
但因为是圆排列，固定A的位置后，B有 $(N - 1)$ 个可能位置
A和B紧挨着时，B可以在A的左边或右边，有 $2$ 种选择
剩余 $(N - 2)$ 个人可以在剩余位置上任意排列，有 $(N - 2)!$ 种方式
因此，A和B紧挨着的排列方式总数为 $\times (N-2)!$
概率为：
$\frac{2 \times (N-2)!}{(N-1)!} = \frac{2}{N-1}$

直观理解：

排成一排：固定A的位置，B有 $N$ 个可能位置，其中 $2$ 个位置与A相邻
排成一圈：固定A的位置，B有 $(N - 1)$ 个可能位置，其中 $2$ 个位置与A相邻

2.44

题目：A,B,C,D,E 五人站成一排，求：

(a) A 和 B 之间恰好有一个人
(b) A 和 B 之间恰好有两个人

答案：

(a) $\dfrac{2 \times 3 \times 3!}{5!} = \dfrac{36}{120} = \dfrac{3}{10}$
(b) $\dfrac{2 \times 2 \times 3!}{5!} = \dfrac{24}{120} = \dfrac{1}{5}$

关键思路：计算A和B之间恰好有k个人的排列数，然后除以总排列数得到概率。

(a) A和B之间恰好有一个人：

2：表示A和B可以交换位置（A在左B在右，或B在左A在右）
3：表示A和B之间恰好有一个人时，可能的位置组合：
- A在位置1，B在位置3
- A在位置2，B在位置4
- A在位置3，B在位置5
- 以及B在左A在右的对应情况（已包含在因子2中）
3!：表示剩下的3个人（C,D,E）在剩余3个位置上的排列方式
符合条件的排列总数： $\times 3 \times 6 = 36$
概率： $36120=310\dfrac{36}{120} = \dfrac{3}{10}$

(b) A和B之间恰好有两个人：

2：A和B可以交换位置
2：表示A和B之间恰好有两个人时，可能的位置组合：
- A在位置1，B在位置4
- A在位置2，B在位置5
- 以及B在左A在右的对应情况（已包含在因子2中）
3!：剩下的3个人的排列方式
符合条件的排列总数： $\times 2 \times 6 = 24$
概率： $24120=15\dfrac{24}{120} = \dfrac{1}{5}$

2：A和B可以交换位置
1：表示A和B之间恰好有三个人时，唯一可能的位置组合：
- A在位置1，B在位置5
- 或B在位置1，A在位置5（已包含在因子2中）
3!：剩下的3个人的排列方式
符合条件的排列总数： $\times 1 \times 6 = 12$
概率： $12120=110\dfrac{12}{120} = \dfrac{1}{10}$

验证：所有可能情况的概率和应为1：
$310+15+110+P(A和B相邻)=1\dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{10} + P(\text{A和B相邻}) = 1$
其中 $P(A和B相邻)=2×4×3!5!=48120=25P(\text{A和B相邻}) = \dfrac{2 \times 4 \times 3!}{5!} = \dfrac{48}{120} = \dfrac{2}{5}$
$310+210+110+410=1\dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{10} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{10} = 1$

2.45

题目：女士有 $n$ 把钥匙，其中 1 把能开门。

(a) 随机试用，不重复，正好第 $k$ 次成功开锁的概率
(b) 钥匙可重复试用，正好第 $k$ 次成功开锁的概率

答案：

(a) 无放回： $\dfrac{1}{n}$
(b) 有放回： $\dfrac{(n-1)^{k-1}}{n^k}$

2.46

题目：房间内需要多少人，才能保证至少有两人同一月份过生日的概率大于 1/2？

答案：

计算不同人数的概率：
- $n = 4$ : $\dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{12^4} = 0.4271$
- $n = 5$ : $\dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{12^5} = 0.6181$
所以需要 5 人

2.47

题目：房间里有 12 个人，求没有两人在同一月份出生的概率。

答案：

概率为：
$\frac{12!}{12^{12}}$

2.48

题目：20 个人，求 4 个月每月 2 人生日，4 个月每月 3 人生日的概率。

答案：

概率为：
$\frac{\binom{12}{4}\binom{8}{4}\frac{20!}{(2!)^4(3!)^4}}{12^{20}}$

问题理解：

20 个人的生日分布在 12 个月中
要求恰好 4 个月各有 2 人生日，恰好 4 个月各有 3 人生日
剩余 4 个月没有人生日

计算步骤：

总可能结果：
- 每个人的生日有 12 种可能（12 个月）
- 20 个人的生日分配总方式： $12^{20}$
- 这是分母部分
有利结果（分子部分）：
- 选择月份：
  - 从 12 个月中选择 4 个月作为"有 2 人生日"的月份： $(124)\binom{12}{4}$
  - 从剩余 8 个月中选择 4 个月作为"有 3 人生日"的月份： $(84)\binom{8}{4}$
- 分配人员：
  - 将 20 个人分配到选定的月份
  - 4 个"2 人生日"的月份需要 8 个人： $(202)(182)(162)(142)\binom{20}{2}\binom{18}{2}\binom{16}{2}\binom{14}{2}$
  - 4 个"3 人生日"的月份需要 12 个人： $(123)(93)(63)(33)\binom{12}{3}\binom{9}{3}\binom{6}{3}\binom{3}{3}$
  - 这可以简化为： $20!(2!)4(3!)4\frac{20!}{(2!)^4(3!)^4}$
  - 分母中的 $2!)^4$ 是因为每个有 2 人生日的月份内，2 个人的顺序不重要
  - 分母中的 $3!)^4$ 是因为每个有 3 人生日的月份内，3 个人的顺序不重要
组合公式：
- 有利结果总数： $(124)(84)20!(2!)4(3!)4\binom{12}{4}\binom{8}{4}\frac{20!}{(2!)^4(3!)^4}$
- 概率： $有利结果总结果=(124)(84)20!(2!)4(3!)41220\dfrac{\text{有利结果}}{\text{总结果}} = \dfrac{\binom{12}{4}\binom{8}{4}\frac{20!}{(2!)^4(3!)^4}}{12^{20}}$

2.49

题目：6 男 6 女随机分成 2 组，每组 6 人，两组男士人数相同（各 3 人）的概率。

答案：

概率为：
$\frac{\binom{6}{3}\binom{6}{3}}{\binom{12}{6}}$

2.51

题目： $n$ 个球随机放到 $N$ 个房间，第一个房间恰有 $m$ 个球的概率。

答案：

概率为：
$\frac{\binom{n}{m}(N-1)^{n-m}}{N^n}$

2.52

题目：衣柜里有 10 双鞋，随机拿 8 只，求：

(a) 一双鞋都没有
(b) 正好有一双鞋

答案：

(a) $\dfrac{\binom{10}{8} \cdot 2^8}{\binom{20}{8}}$
(b) $\dfrac{\binom{10}{1}\binom{9}{6} \cdot 2^6}{\binom{20}{8}}$

2.53

题目：4 对夫妇坐成一排，没有任何妻子坐在她丈夫身边的概率。

答案：

用容斥原理：
$P(\text{无夫妇相邻}) = 1 - \left[4\frac{2 \cdot 7!}{8!} - 6\frac{2^2 \cdot 6!}{8!} + 4\frac{2^3 \cdot 5!}{8!} - \frac{2^4 \cdot 4!}{8!}\right]$

2.55

题目：一手牌 13 张，求：

(a) 有同一花色的 A 和 K
(b) 有同一个点数的四张

答案：

(a) 用容斥原理：
$\frac{4\binom{50}{11} - 6\binom{48}{9} + 4\binom{46}{7} - \binom{44}{5}}{\binom{52}{13}}$
(b) 用容斥原理：
$\frac{13\binom{48}{9} - \binom{13}{2}\binom{44}{5} + \binom{13}{3}\binom{40}{1}}{\binom{52}{13}}$