题解：P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

题解：P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

看到题目：同余方程组？中国剩余定理！

不过由于本题中的 $ai$ 并不是互质的，所以我们需要使用扩展中国剩余定理（EXCRT）。

假设同余方程组由以下两个同余方程组成
$$x\equiv b1\mathrm{mod}a1$$
$$x\equiv b2\mathrm{mod}a2$$

可以转化为不定方程
$$x=a1\times p+b1$$
$$x=a2\times q+b2$$

则
$$a1\times p-a2\times q=b2-b1$$

诶？好熟悉的式子，可以使用扩展欧几里得算法！

根据裴蜀定理可得，只有在 $\gcd (a1,a2)\mid (b2-b1)$ 时才有解，当然题目已经保证了有解。

设 $A=\gcd (a1,a2)$，根据扩展欧几里得可以求出 $p$ 与 $q$ 的一组解为 $p1$ 与 $q1$，可求出通解为 $X=p1+\frac{a2}{A}\times k$ 与 $Y=q1+\frac{a1}{A}\times k$。

因为题目要求最小非负整数解，所以 $k$ 取 1，此时 $x=a1\times X+b1$，即 $a1\times (p1+\frac{a2}{A})+b1=a1\times p1+\frac{a1\times a2}{A}+b1$，其中 $\frac{a1\times a2}{A}=lcm(a1,a2)$。

此时可以将原本两个同余方程等价合并为
$$x\equiv a1\times p1+b1\mathrm{mod}lcm(a1,a2)$$

所以 $n$ 个同余方程合并 $n-1$ 次就可以合并为一个方程，此时答案即为上式中的 $a1\times p1+b1$。

最终代码复杂度为 $O(nlogn)$。

代码

typedef __int128 ll;
void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){//扩展欧几里得if(b==0){d=a;x=1;y=0;return ;} exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=(a/b)*x;
}
void pr(ll x){if(x/10)pr(x/10);putchar('0'+x%10);
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);ll d,x,y,a1,b1,a2,b2;long long n,aa,bb,aaa,bbb;cin>>n>>aa>>bb;//第1个同余方程a1=aa;b1=bb;for(int i=2;i<=n;i++){cin>>aaa>>bbb;//第2~n个同余方程a2=aaa;b2=bbb;exgcd(a1,a2,d,x,y);ll dx=a2/d;//即为a2/A，因为d为gcd(a1,a2)if(dx<0)dx=-dx;//取绝对值x=x*((b2-b1)/d);//根据扩欧求一组解x=(x%dx+dx)%dx;//防止x为负b1=a1*x+b1;//记录答案a1=a1/d*a2;}pr(b1);return 0;
}