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綫性與非綫性泛函分析與應用_1.例題(下)-半母本

news 来源：原创 2025/5/2 0:04:07

第1章實分析與函數論：快速回顧(下)

五、基數；有限集和無限集相關例題

例題1：集合基數的判斷

判斷集合 $A=\{1,2,3,4,5\}$ 和集合B=\{a,b,c,d,e\}的基數關係。

解析：

可以構造一個雙射 $f:A\rightarrow B$ ，例如 $f(1)=a$ ， $f(2)=b$ ， $f(3)=c$ ， $f(4)=d$ ， $f(5)=e$ 。

所以 $\text{card}(A)=\text{card}(B)=5$ ，兩個集合具有相同的基數。

例題2：可數集的證明

證明整數集 $\mathbb{Z}$ 是可數集。

解析：

構造映射 $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}$ ， $f(n)=\begin{cases}2n, & n\geq0\\ - 2n - 1, & n<0\end{cases}$ 。

- 證明 $f$ 是單射：

若 $n_1\neq n_2$ ，分情況討論。

當 $n_1,n_2\geq0$ 時，若 $n_1\neq n_2$ ，則 $2n_1\neq2n_2$ ，即 $f(n_1)\neq f(n_2)$ 。

當 $n_1,n_2<0$ 時，若 $n_1\neq n_2$ ，則 $-2n_1 - 1\neq - 2n_2 - 1$ ，即 $f(n_1)\neq f(n_2)$ 。

當 $n_1\geq0$ ， $n_2<0$ 時， $2n_1\geq0$ ， $-2n_2 - 1>0$ 且 $2n_1$ 是偶數， $-2n_2 - 1$ 是奇數，所以 $f(n_1)\neq f(n_2)$ 。

所以 $f$ 是單射。

- 證明 $f$ 是滿射：

任取 $m\in\mathbb{N}$ ，若 $m$ 是偶數，設 $m = 2k$ （ $k\in\mathbb{N}$ ），則 $n = k$ 時， $f(n)=2k=m$ 。

若 $m$ 是奇數，設 $m = 2k + 1$ （ $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ ），則金 $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ 時，

$f(n)=-2(-(k + 1))-1=2k + 1=m$ 。

所以f是滿射。

由於存在雙射 $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}$ ，所以 $\text{card}(\mathbb{Z})=\text{card}(\mathbb{N})=\aleph_0$ ，即 $\mathbb{Z}$ 是可數集。

例題3：不可數集的證明

證明實數集 $\mathbb{R}$ 是不可數集。

解析：

採用康托爾的對角線法。假設 $\mathbb{R}$ 是可數集，則 $\mathbb{R}$ 中的實數可以排成一個序列 $x_1,x_2,x_3,\cdots$ 。

將每個實數 $x_n$ 表示成無限小數形式（例如 $x_1 = 0.a_{11}a_{12}a_{13}\cdots$ ， $x_2 = 0.a_{21}a_{22}a_{23}\cdots$ ）。

構造一個新的實數 $y = 0.b_1b_2b_3\cdots$ ，其中 $b_i\neq a_{ii}$ （例如當 $a_{ii}=1$ 時， $b_i = 2$ ；當 $a_{ii}\neq1$ 時， $b_i = 1$ ）。

這樣y與序列中的每一個實數 $x_n$ 都不同，這與 $\mathbb{R}$ 中的實數可以排成序列矛盾。

所以 $\mathbb{R}$ 是不可數集。

例題4：集合基數大小的比較

證明 $\text{card}(\mathbb{N})<\text{card}(\mathbb{R})$ 。

解析：

已知 $\text{card}(\mathbb{N})=\aleph_0$ ，且已證明 $\mathbb{R}$ 是不可數集，其基數 $\text{card}(\mathbb{R})=\mathfrak{c}$ 。

又因為存在單射 $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ ，例如 $f(n)=n$ ，但不存在雙射 $g:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ （由例題3中 $\mathbb{R}$ 不可數證明可知）。

根據基數大小比較的定義，若存在從集合 $A$ 到集合 $B$ 的單射，但不存在雙射，則 $\text{card}(A)<\text{card}(B)$ ，所以 $\text{card}(\mathbb{N})<\text{card}(\mathbb{R})$ 。

例題5：無限集與可數子集的關係

已知集合 $A=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$ ，找出 $A$ 的一個可數子集。

解析：

考慮集合 $B = \{1,2,3,\cdots\}$ ，B\subseteq A。

因為 $B$ 與自然數集 $\mathbb{N}$ 具有相同的基數（可構造雙射 $f:\mathbb{N}\to B$ ， $f(n)=n$ ），所以 $B$ 是可數集，即 $B$ 是 $A$ 的一個可數子集。

例題6：基數運算

已知集合 $A$ 的基數 $\text{card}(A)=\aleph_0$ ，集合 $B$ 的基數 $\text{card}(B)=3$ ，求 $\text{card}(A\times B)$ 。

解析：

若 $\text{card}(A)=\aleph_0$ ， $\text{card}(B)=n$ （ $n$ 為有限基數），則 $\text{card}(A\times B)=\text{card}(A)\times\text{card}(B)$ 。

所以 $\text{card}(A\times B)=\aleph_0\times3=\aleph_0$ 。

這是因為可將 $A\times B$ 的元素排列成如下形式：

假設 $A = \{a_1,a_2,a_3,\cdots\}$ ， $B=\{b_1,b_2,b_3\}$ ，

則 $A\times B=\{(a_1,b_1),(a_1,b_2),(a_1,b_3),(a_2,b_1),(a_2,b_2),(a_2,b_3),\cdots\}$ ，

可按照先固定第一個元素的第一個位置，依次遍歷第二個元素的所有可能，再移動第一個元素的位置的方式，構造出 $A\times B$ 與 $\mathbb{N}$ 的一一對應，故其基數為 $\aleph_0$ 。

例題7：證明集合基數的等式

證明若 $A$ 和 $B$ 是不相交的可數集，即 $A\cap B=\varnothing$ ，且 $\text{card}(A)=\text{card}(B)=\aleph_0$ ，則 $\text{card}(A\cup B)=\aleph_0$ 。
解析：
因為 $A$ 和 $B$ 是可數集，所以存在雙射 $f:\mathbb{N}\to A$ 和 $g:\mathbb{N}\to B$ 。
定義映射 $h:\mathbb{N}\to A\cup B$ 如下：(CSDN的LaTex輸出不了奇數、偶數的中文文本，故用k代替)
$h(n)=\begin{cases}f\left(\frac{n + 1}{2}\right),&n\text{ =2k+1}\\g\left(\frac{n}{2}\right),&n\text{ =2k}\end{cases}$
首先證明 $h$ 是單射：
若 $n_1\neq n_2$ 。