当前位置：首页 > news >正文

【ad-hoc 最小生成树构造】P8957 「CGOI-3」巫泡弹弹乐|普及+

news 2025/8/18 14:41:46

本文涉及知识点

C++图论最小生成树
构造 ad-hoc

P8957 「CGOI-3」巫泡弹弹乐

题目背景

mc 正在挑战弹弹乐。

题目描述

弹弹乐由 $n$ 个弹力菇组成，每个弹力菇有 $a, b$ 两个属性。

对于弹力菇 $i$ 会向弹力菇 $j$ 连一条边权为 $max(a_i,a_j)+\max(b_i,b_j)$ 的双向弹力通道。现在 mc 想知道弹力菇组成的图的最小生成树，以便他打破记录。

输入格式

第一行一个整数 $n$ 。

第二行 $n$ 个整数，第 $i$ 个数表示 $a_i$ 。

第三行 $n$ 个整数，第 $i$ 个数表示 $b_i$ 。

输出格式

第一行输出这个最小生成树的边权和。

接下来 $n - 1$ 行，每行输出两个整数表示一条树边。你可以输出任意一种合法方案。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
1 2 1
3 2 3

输出 #1

9
1 2
1 3

说明/提示

数据范围

「本题采用捆绑测试」

$Subtaskn特殊性质分值1n≤500无202n≤5×104无203无特殊限制数据随机204无特殊限制无40\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \textbf{Subtask} & \bm{n} & \textbf{特殊性质} & \textbf{分值}\cr\hline 1 & n\le 500 & \text{无} & 20 \cr\hline 2 & n\le 5\times 10^4 & \text{无} & 20\cr\hline 3 & \text{无特殊限制} & \text{数据随机} & 20\cr\hline 4 & \text{无特殊限制} & \text{无} & 40 \cr\hline \end{array}$

对于 $100%100\%$ 的数据，满足： $1≤n≤1061\le n\le 10^6$ ， $1≤ai,bi≤1091\le a_i,b_i\le 10^9$ 。

最小生成树

所有边权重由 $a_i$ 贡献的部分最少多少？
$∑a−min⁡a\sum a-\min a$
证明过程如下：
a升序排序。
性质一： $\le a_i的边不超过i条,0 \le i < N$
$任意边权≤ai的边的任意节点j，一定j<=i任意边权\le a_i的边的任意节点j，一定j <=i$ ，i+1个节点，i+1条或更多的边一定会产生环，这与最小生成树矛盾。
即最优情况 $a1⋯N−1各取一次a_{1\cdots N-1}各取一次$ 。同理最优情况 $b1⋯N−1b_{1 \cdots N-1}$ 各取一次

构造方式

a升序排序，i = 1 to N-1
tmin记录{ $b [j], j$ }的最小值, $0≤j<i0\le j<i$
结论一：a[ $1⋯N−11\cdots N-1$ ]都只取了一次，即枚举i的时候。
结论二：b[ $1⋯N−11\cdots N-1$ ]都只取了一次。
如果 $b_i,i] > [b_j,j]$ 则当前边的边权为 $b_i$ ,且 $b_i$ 一定不是tMin。
否则,当前边的边权为 $b_j$ ， $b_i代替b_j$ 成为tMin，即 $b_j$ 会再被取到。
枚举结束后,tMin一定是[ $b_0,0$ ]。

时间复杂度

O(nlogn)，瓶颈在排序。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
#include <chrono>
using namespace std::chrono;
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) ;return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) ;return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class Solution {public:long long Ans(vector<int>& A, vector<int>& B) {const int N = A.size();vector<int> inxs(N);iota(inxs.begin(), inxs.end(), 0);sort(inxs.begin(), inxs.end(), [&](int i1, int i2) {return A[i1] < A[i2]; });long long ans = 0;pair<int, int> tMin = { B[inxs[0]],inxs[0] };for (const auto& i : inxs) {if (i == tMin.second) { continue; }const pair<int, int> cur = { B[i],i };ans += A[i];ans += (tMin < cur) ? cur.first : tMin.first;m_edge.emplace_back(i, tMin.second);tMin = min(tMin, cur);}return ans;}vector<pair<int, int>> m_edge;};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;auto A = Read<int>();auto B = Read<int>(A.size());
#ifdef _DEBUG	//printf("N=%d", N);Out(A, ",A=");Out(B, ",B=");//Out(que, ",que=");
#endif // DEBUG		Solution slu;auto res =slu.Ans(A,B);cout << res << "\n";for (const auto& [u, v] : slu.m_edge) {cout << (u + 1) << " " << (v + 1) << "\n";}return 0;
}

单元测试

long long Sum(vector<int>& A, vector<int>& B){long long ret = accumulate(A.begin(), A.end(), 0LL) + accumulate(B.begin(), B.end(), 0LL);ret -= *min_element(A.begin(), A.end());ret -= *min_element(B.begin(), B.end());return ret;}void Check(const int N,const vector<pair<int, int>>& edge) {AssertEx(N - 1, (int)edge.size());CUnionFind uf(N);for (const auto& [u, v] : edge) {uf.Union(u, v);}AssertEx(1, uf.GetConnetRegionCount());}vector<int> A, B;TEST_METHOD(TestMethod11){A = { 1,2,1 }, B = { 3,2,3 };Solution slu;auto res = slu.Ans(A, B);AssertEx(Sum(A, B), res);Check(A.size(), slu.m_edge);}	TEST_METHOD(TestMethod12){A = { 1 }, B = { 3 };Solution slu;auto res = slu.Ans(A, B);AssertEx(Sum(A,B), res);Check(A.size(), slu.m_edge);}TEST_METHOD(TestMethod13){A = { 1 ,3,4,8,11,12,34,15,16}, B = { 3 ,1,2,3,4,5,6,7,8};Solution slu;auto res = slu.Ans(A, B);AssertEx(Sum(A, B), res);Check(A.size(), slu.m_edge);}TEST_METHOD(TestMethod14){A.assign(1000'000,1e9), B.assign(1000'000, 1e9);Solution slu;auto res = slu.Ans(A, B);AssertEx(Sum(A, B), res);Check(A.size(), slu.m_edge);}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适）专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功成功+反思=成功