复数与频谱的联系

复数与频谱之间存在深刻而本质的联系，这种联系是信号与系统、通信、信号处理等领域的理论基础。频谱作为信号在频域的“指纹”，其描述、计算和分析几乎完全依赖复数的数学性质。以下从数学基础、核心对应关系、运算工具和实际应用四个层面，详细解析两者的联系。

一、数学基础：复数是描述频谱的“天然语言”

频谱的本质是将时域信号分解为不同频率的正弦/余弦分量的叠加，而复数通过欧拉公式为这种分解提供了简洁的数学工具。

1. 欧拉公式：连接正弦信号与复指数信号

欧拉公式是复数与频谱关联的起点，它将实域的正弦信号表示为复域的指数形式：
$$e^{i\omega t}=\cos (\omega t)+i\sin (\omega t)$$
这一公式表明：一个频率为 $\omega$ 的复指数信号，其实部和虚部分别对应余弦和正弦信号。反过来，任意正弦信号都可以用两个复指数信号的叠加表示：
$$\cos ({\omega }_{0}t+\varphi )=\frac{1}{2}{e}^{i({\omega }_{0}t+\varphi )}+\frac{1}{2}{e}^{-i({\omega }_{0}t+\varphi )}$$

2. 傅里叶变换：复数形式的频谱定义

频谱的数学定义依赖傅里叶变换，而傅里叶变换的结果本身就是复数。对于时域信号