【高等数学】第八章 向量代数与空间解析几何——第二节 数量积 向量积 混合积

上一节：【高等数学】第八章 向量代数与空间解析几何——第一节 向量及其线性运算
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1. 两向量的数量积

• 定义向量$\mathbf{a}$和向量$\mathbf{b}$的数量积（或点积）$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$$

  点积的概念来自物理学（特别是力学中计算功）的需求

• 性质
  • $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}|\cdot (\mathbf{b}{)}_{\mathbf{a}}=|\mathbf{b}|\cdot (\mathbf{a}{)}_{\mathbf{b}}$
  • $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2$
  • 向量$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$的充分必要条件是$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$
• 运算律
  • 交换律：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}.$
  • 分配律：$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}.$
  • 结合律：$(\lambda \mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=\lambda (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$
• 数量积的坐标表示式$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z.$$
• 两向量夹角余弦的坐标表示式$$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$$

2. 两向量的向量积

• 定义向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的向量积（或叉积）$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$，其模$|\mathbf{c}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$，其方向垂直于$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$所决定的平面，$\mathbf{c}$的指向按右手规则从$\mathbf{a}$转向$\mathbf{b}$来确定

  叉积的概念来自物理学（特别是力学中计算力矩）的需求

• 性质
  • $\mathbf{a}\times \mathbf{a}=0$
  • 向量$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$的充分必要条件是$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0$.
• 运算律
  • 反交换律：$\mathbf{b}\times \mathbf{a}=-\mathbf{a}\times \mathbf{b}$
  • 分配律：$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times \mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{c}+\mathbf{b}\times \mathbf{c}.$

    $((\mathbf{a}+\mathbf{b})\times \mathbf{c})\cdot \mathbf{d}=(\mathbf{a}\times \mathbf{c}+\mathbf{b}\times \mathbf{c})\cdot \mathbf{d}$
    根据混合积的轮换性$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$
    $((\mathbf{a}+\mathbf{b})\times \mathbf{c})\cdot \mathbf{d}=(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{c}\times \mathbf{d})$
    根据点积的分配律和混合积的轮换性得证

  • 结合律：$(\lambda \mathbf{a})\times \mathbf{b}=\mathbf{a}\times (\lambda \mathbf{b})=\lambda (\mathbf{a}\times \mathbf{b})$
• 向量积的坐标表示式$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|.$$

3. 向量的混合积

• 定义向量$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$的混合积$[\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}]=(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$
• 混合积的坐标表示式$$[\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}]=(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$$
• 几何意义
  向量的混合积$[\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}]$的绝对值表示以向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$为棱的平行六面体的体积.
  如果$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$组成右手系(即$\mathbf{c}$的指向按右手规则从$\mathbf{a}$转向$\mathbf{b}$来确定)
  那么混合积的符号是正的
  如果$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$组成左手系(即$\mathbf{c}$的指向按左手规则从$\mathbf{a}$转向$\mathbf{b}$来确定)
  那么混合积的符号是负的.

  从此处可以发现坐标系采用右手系的优势

• 三向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$共面的充分必要条件是它们的混合积$[\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}]=0$，即
  $$\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|=0.$$

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