【Floyd】Shortest Routes II

题目描述

There are n cities and m roads between them. Your task is to process q queries where you have to determine the length of the shortest route between two given cities.

输入

The first input line has three integers n, m and q: the number of cities, roads, and queries.
Then, there are m lines describing the roads. Each line has three integers a, b and c: there is a road between cities a and b whose length is c. All roads are two-way roads.
Finally, there are q lines describing the queries. Each line has two integers a and b: determine the length of the shortest route between cities a and b.
Constraints
1 ≤ n ≤ 500
1 ≤ m ≤ n2
1 ≤ q ≤ 105
1 ≤ a,b ≤ n
1 ≤ c ≤ 109

输出

Print the length of the shortest route for each query. If there is no route, print -1 instead.

样例输入

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4 3 5
1 2 5
1 3 9
2 3 3
1 2
2 1
1 3
1 4
3 2

样例输出

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5
5
8
-1
3

为什么不是换根 DP？

• 换根 DP 是一种针对树结构的算法（比如没有环的图），主要用于高效计算 “所有节点作为根时的某种属性”（比如每个节点到其他所有节点的距离和）。
• 但这个问题中的 “城市和道路” 可能形成环（比如 A→B→C→A），不是树结构，所以换根 DP 不适用。

为什么用弗洛伊德算法？

• 弗洛伊德算法的作用是：一次性计算出所有节点对之间的最短路径（比如城市 1 到城市 2、城市 1 到城市 3、城市 2 到城市 3…… 全算出来）。

Floyd-Warshall 算法能够计算所有节点对之间的最短路径，核心在于它利用了动态规划的思想，通过逐步引入中间节点来松弛（优化）任意两点间的距离。

核心原理：通过中间节点优化路径

假设我们有三个节点 i、j、k，算法的基本思路是：
“从 i 到 j 的最短路径，要么不经过 k，要么经过 k”。

用公式表示就是：
dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])

• 如果不经过 k，则 i 到 j 的最短距离保持不变；
• 如果经过 k 的路径更短（i→k→j 比直接 i→j 短），则更新距离。

算法的执行过程

外层循环遍历所有可能的 中间节点 k（从 1 到 n），内层循环遍历所有 起点 i 和 终点 j：

1. 初始时，dist[i][j] 要么是直接连接 i 和 j 的道路长度，要么是无穷大（表示无直接道路）。
2. 当引入第 k 个节点作为中间节点时，检查所有 i 到 j 的路径是否能通过 k 优化。
3. 随着 k 的增加，算法会逐步考虑所有可能的中间节点组合，最终得到全局最优的最短路径。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int N=1e5+10;int n,m,q;
ll dis[505][505];int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n>>m>>q;for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j)dis[i][j]=LLONG_MAX/2;dis[i][i]=0;}for(int i=0;i<m;++i){ll a,b,c;cin>>a>>b>>c;if(c<dis[a][b])dis[a][b]=dis[b][a]=c;}for(int k=1;k<=n;++k)for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];while(q--){int a,b;cin>>a>>b;if(dis[a][b]==LLONG_MAX/2)cout<<"-1\n";else cout<<dis[a][b]<<'\n';}return 0;
}