范数的定义、分类与 MATLAB 应用实践

范数的定义、分类与应用

在数学分析、数值计算及工程应用中，“范数”（Norm）是一个非常重要的概念。范数可以看作是一种“度量工具”，它定义在向量空间或矩阵空间上，用于衡量元素的“大小”或“距离”，是理解空间结构和构建算法的基础。

本文将对范数的定义、常见类型及其应用进行系统性整理和介绍。

一、范数的基本定义

设 $V$ 是一个向量空间，范数是一个函数 $\Vert \cdot \Vert :V\to \mathbb{R}$，满足以下三个公理：

1. 非负性（Positivity）：对于任意 $\mathbf{x}\in V$，有 $\Vert \mathbf{x}\Vert \ge 0$，且仅当 $\mathbf{x}=0$ 时取等号；
2. 齐次性（Homogeneity）：对任意标量 $\alpha$ 和向量 $\mathbf{x}\in V$，有 $\Vert \alpha \mathbf{x}\Vert =|\alpha |\cdot \Vert \mathbf{x}\Vert$；
3. 三角不等式（Triangle Inequality）：对任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$，有 $\Vert \mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert \le \Vert \mathbf{x}\Vert +\Vert \mathbf{y}\Vert$。

二、向量范数（Vector Norms）

向量范数用于度量向量在空间中的“长度”或“大小”。最常见的向量范数为 $L_p$ 范数，定义如下：

$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_p={\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p},p\ge 1$$

1. 常见的 $L_p$ 范数类型

• $L_1$ 范数（曼哈顿距离）：

  $$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$$

  例如：$\mathbf{x}=(3,-4)$，其 $L_1$ 范数为 7。

• $L_2$ 范数（欧几里得范数）：

  $$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

  对应于平面几何中常用的距离度量方法，如前例中 $L_2$ 范数为 5。

• $L_{\infty }$ 范数（切比雪夫距离）：

  $$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i|$$

  例如：$\max (|3|,|-4|)=4$。

2. 其他向量范数

• 加权范数：引入权重 $w_i>0$，定义为

  $$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_w={\left(\sum _{i=1}^n{w}_i|x_i{|}^p\right)}^{1/p}$$

• 核范数（需结合核函数）：用于高维映射与特征学习中。

三、矩阵范数（Matrix Norms）

矩阵范数是矩阵空间中的“度量工具”，不仅需满足基本范数公理，还需满足一致性条件：
若 $A,B$ 可乘，则

$$\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$$

1. 诱导范数（算子范数）

由向量范数引出，用于描述矩阵对向量的最大“拉伸能力”，定义为：

$$\Vert A{\Vert }_p=\underset{\mathbf{x}\ne 0}{\max }\frac{\Vert A\mathbf{x}{\Vert }_p}{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_p}$$

常见诱导范数包括：

• $L_1$ 诱导范数（列和范数）：

  $$\Vert A{\Vert }_1=\underset{j}{\max }\sum _i|A_{ij}|$$

• $L_2$ 诱导范数（谱范数）：

  $$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_{\max }(A^{T}A)}$$

  即矩阵最大奇异值，广泛用于数值计算与机器学习中。

• $L_{\infty }$ 诱导范数（行和范数）：

  $$\Vert A{\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\max }\sum _j|A_{ij}|$$

2. 元素范数（Entrywise Norm）

直接基于矩阵元素定义：

• Frobenius 范数（F-范数）：

  $$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i,j}|A_{ij}{|}^2}$$

  可视为矩阵元素平方和的平方根，相当于向量化矩阵后的 $L_2$ 范数。

• 核范数（nuclear norm）：

  $$\Vert A{\Vert }_{\ast }=\sum _{i=1}^r{\sigma }_i$$

  其中 ${\sigma }_i$ 为奇异值，常用于低秩矩阵重建和稀疏优化问题。

3. Schatten 范数（奇异值范数）

Schatten 范数定义为：

$$\Vert A{\Vert }_{S_p}={\left(\sum _{i=1}^r{\sigma }_i^p\right)}^{1/p}$$

其中 $p=1$ 为核范数，$p=2$ 为Frobenius范数。

四、范数的应用领域

范数在多个学科和工程应用中发挥重要作用：

• 机器学习与正则化：

  • $L_1$ 正则化用于特征选择与稀疏模型构建（如Lasso）；
  • $L_2$ 正则化用于防止过拟合（如Ridge回归）。

• 数值分析与矩阵计算：
  评估矩阵条件数、控制误差传播。

• 控制理论与稳定性分析：
  Lyapunov函数中使用范数评估系统状态的收敛与发散。

• 图像处理与信号压缩：
  核范数用于图像重建、低秩补全等。

五、小结

范数作为度量空间中“大小”的重要工具，不仅具有清晰的数学结构，还广泛应用于各类实际问题中。掌握不同类型的范数及其性质，有助于我们从更深层次理解线性代数、优化理论和机器学习等领域的核心原理，并在实际工程中选择合适的数学工具来简化问题和提升算法性能。

六、MATLAB代码

以下是使用 MATLAB 求各种常见向量范数与矩阵范数的代码示例，便于你结合理论进行实践验证和计算分析。

✅ 一、向量范数计算

假设有向量 x = [3, -4, 1]，可以使用 norm() 函数计算不同范数：

x = [3, -4, 1];% L1 范数（曼哈顿距离）
norm_L1 = norm(x, 1);% L2 范数（欧几里得范数）
norm_L2 = norm(x, 2);% L∞ 范数（切比雪夫范数）
norm_Linf = norm(x, Inf);% Lp 范数（例如 p = 3）
p = 3;
norm_Lp = norm(x, p);% 自定义加权 L2 范数（举例）
w = [0.5, 2, 1]; % 权重
norm_weighted = (sum(w .* abs(x).^2))^(1/2);

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✅ 二、矩阵范数计算

假设有矩阵：

A = [1, -2, 3; 4, 0, -1];

1. 诱导范数（基于 norm 函数）

% L1 范数（列和最大值）
norm_A1 = norm(A, 1);% L2 范数（谱范数 / 最大奇异值）
norm_A2 = norm(A, 2);% L∞ 范数（行和最大值）
norm_Ainf = norm(A, Inf);

2. Frobenius 范数

% Frobenius 范数
norm_F = norm(A, 'fro');

3. 核范数（nuclear norm）

% 核范数（奇异值之和）
s = svd(A);
norm_nuclear = sum(s);

4. Schatten p-范数（p = 3 示例）

p = 3;
s = svd(A);
norm_Schatten = (sum(s.^p))^(1/p);

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✅ 三、条件数计算（衍生应用）

范数在矩阵条件数计算中也很常见：

% A 的条件数（默认使用 2-范数）
cond_A = cond(A);% A 的1-范数条件数
cond_A1 = cond(A, 1);% A 的∞-范数条件数
cond_Ainf = cond(A, Inf);

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✅ 四、小结

名称	MATLAB命令	备注说明
向量 L1 范数	norm(x,1)	元素绝对值之和
向量 L2 范数	norm(x,2) 或 norm(x)	向量欧氏范数
向量 L∞ 范数	norm(x,Inf)	元素绝对值最大值
矩阵 L1 范数	norm(A,1)	列绝对值和的最大值
矩阵 L2 范数	norm(A,2)	最大奇异值（谱范数）
矩阵 L∞ 范数	norm(A,Inf)	行绝对值和的最大值
Frobenius 范数	norm(A,'fro')	所有元素平方和开根号
核范数	sum(svd(A))	奇异值之和
Schatten-p 范数	sum(svd(A).^p)^(1/p)	奇异值的 $L_p$ 范数

向量范数对比

% 示例向量
x = [3, -4, 1, 2];% 范数计算
norm_L1     = norm(x, 1);
norm_L2     = norm(x, 2);
norm_Linf   = norm(x, Inf);
norm_L3     = norm(x, 3);
norm_L0p5   = sum(abs(x).^0.5)^(1/0.5);  % L_0.5 伪范数（非真正范数）% 汇总数据
norm_values = [norm_L1, norm_L2, norm_L3, norm_Linf, norm_L0p5];
norm_labels = {'L1', 'L2', 'L3', 'L∞', 'L0.5'};% 绘图
figure;
bar(norm_values);
set(gca, 'XTickLabel', norm_labels, 'FontSize', 12);
ylabel('范数值');
title('不同向量范数对比');
grid on;

矩阵范数对比

A = [1, -2, 3; 4, 0, -1];
norms = [norm(A,1), norm(A,2), norm(A,Inf), norm(A,'fro'), sum(svd(A))];
labels = {'L1', 'L2', 'L∞', 'Frobenius', 'Nuclear'};figure;
bar(norms);
set(gca, 'XTickLabel', labels, 'FontSize', 12);
ylabel('范数值');
title('不同矩阵范数对比');
grid on;