高等数学（工本）----00023 速记宝典
知识点 1 空间直角坐标系的建立
三维空间中几何问题
空间图形形式一点，线，面，体 知识桥梁空间直角坐标系
代数理论表达——坐标，方程(组)
知识点 2 空间直角坐标系的定义
过空间一定点 O ，过该点作三条互相垂直的有向直线 Ox ，Oy ，Oz ，组成一个空间直角坐标系，记为 Oxyz。
l 坐标系的构成特点
l 坐标原点
l 坐标轴(三条) ·坐标面(三个)
l 卦限(八个)
知识点 3 特殊点的坐标
坐标原点 O （三项为零）
坐标轴上的点（三类）PQR （两项为零）
坐标面上的点（三类）ABC （一项为零）
卦限上的点，如：第一卦限的点，各分量全为正
知识点 4 向量的概念
知识点 5 特殊的向量
知识点6 向量的加法
7 向量的减法
8 向量与数的乘法
知识点9 向量的投影
（1）点在数轴上的投影 已知空间一点M 与一数轴 u ，过点M 作垂直于数轴 u 的平面阝，且交 点为M ′ ， 则称点 M ′ 为点M在数轴u 上的投影，其中数轴 u 称为投影轴。
（2）向量的投影 设向量 CD 的始点C和终点D在数轴u 上的投影点分别 是C ′为D ′，则称向量 C ′ D ′ 为向量 CD 的投影向量。记
知识点 10 数量积的概念及运算律
定义：给定两个向量 α,阝，它们的数量积为： α.阝 =|α ||阝 |cosφ , φ 是两个向量的夹角。
数量积的运算律：
交换律 α . β = β . α
分配律 ( α + β) .Y = α .Y + β .Y
结合律 λ(α . β) = λ α + λβ, λ ∈ R
知识点 11 数量积的坐标表示
知识点12 曲面方程定义
定义 1 如果曲面 S 与方程F（x，y，z）=0有下述关系：
（1） 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程
（2）不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 则F（x，y，z） =0 叫做曲面 S 的方程， 曲面 S 叫 做方程F（x，y，z） = 0 的图形。
知识点 13 曲面关于坐标面的对称性
定理 1 设曲面 S 的方程 F(x ，y ，z )=0，则曲面 S 关于 Oxy 平面 对称的充要条件是，如果点 p (x ，y ，z )的坐标满足方程 F(x ，y , z )= 0，那么必有点 p ′ (x，y，-z )的坐标也满足方程 F(x , y，-z)=0。
简言之， 曲面 S 关于Oxy 平面对称的充要条件是 F(x，y，z) = F(x，y，-z)。
同理可得，曲面 S 关于 Oyz 平面对称的充要条件是 F(-x，y，z) = F(x，y，z)。
曲面 S 关于Ozx 平面对称的充要条件是 F(x，-y，z)=F(x，y，z) 。
知识点 14 直线方程
直线的一般式
定义 直线 L 可视为两平面Π 1， Π2 的交线，设平面Π 1， Π2 的方程为 A1x +B1y +C1z +D1 = 0 , A2x + B2y +C2z + D2 = 0
则方程组
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2 x + B 2 y + C2 z + D2 = 0
称该方程组为直线 L 的一般式方程。
注：过某定直线的平面有无穷多个，从中任选两个组成的方程组都是交线的一般式方程，一般式方程 不唯一。
知识点 15 两条直线的夹角
1.两直线的夹角
定义 5 两直线 L1，L2 的方向向量的夹角 θ (取锐角或直角)称为这两条
2. 直线夹角的计算
3.直线的特殊位置关系
知识点 16 二次曲面的概念
1.二次曲面的概念
定义 三元二次方程（二次项系数不全为 0）
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0 所表示的空间曲面称为二次曲面。 2. 常见二次曲面
椭球面、抛物面、双曲面
研究二次曲面特性的基本方法：截痕法
知识点 17 二元函数的定义
定义 1 设有三个变量 x，y，z ，当变量 x，y 在一定范围 D 内任取一 对数值时，按照一定的对应
法则，总有 唯一确定的数值 z 与之对应， 则称变量 z 为变量 x，y 的二元函数，记作 z = f（ x ，y）
自变量 x，y 的变化范围 D 称为该二元函数的定义域。
因变量 z 的变化范围称为该二元函数的值域，记作 R = { z/z = f (x ，y ) , (x ，y ) ∈ D }
知识点18 定义域的求解
定义域求法：（1）分式的分母不能为零；
（2）偶次根函数被开方值非负；
（3）对数函数的真数为正数；
（4）函数相加时，定义域为两项定义域的交集。
知识点19 二元函数的有界性
定义 3 设函数 f (x，y) 在点集 D 上有定义，如果存在 M>0 ，使 得 对于任何（x，y） ∈D ，都
有|f（x，y） | ≤M 成立，则称 f ( x ，y ) 在 D 上的有界函数，否则称为无界函数。
知识点20 二元函数的间断点
若函数 z=(x,y)在点 PoXo,yo)满足上述三个条件 中的一条，则称函数在点 处不连续或间断，且称
点是函数的间断点
知识点 21 最值定理
二元连续函数在其定义区域上必然可取到最大值 M 和最小值m，且 函数在定义域上必有界（有界定 理）。
知识点 22 连续函数的四则运算与复合运算
二元连续函数经过加减乘除运算与复合运算后仍为连续函数。
知识点 23 二重积分的几何意义
"函数 f(x, y)在 D 上可积，则二重积分等于函数对应的各部分曲顶柱"体体积的代数和。
知识点 24 函数可积的充分条件
"定理 1.若函数 f(x, y)在有界闭区域 D 上连续，则 f(x, y)在 D 上可积。"
"定理 2.若有界函数 f(x, y)在有界闭区域 D 上除去有限个点或有限条光滑 曲线外都连续，则 f (x ,y )在 D 上可积。"
知识点 25 对弧长的曲线积分的概念与性质
定义光滑曲线：
若连续曲线 L 上各点处均有切线，且当点在 L 上连续移动时，切线 也是连续移动的，则称曲线 L 是 光滑的。 分段光滑曲线是指曲线可以分为有线段，且每一段都是光滑的。
知识点 26 对坐标的曲面积分的计算
计算思路： 曲面积分 转化 二重积分
"定理 1 设积分曲面为光滑曲面 Σ ：Z = Z(x, y) ， (x, y) ∈ Dxy，"
"R(x, y, Z)在 Σ 上连续，若函数 Z(x, y)在 Dxy 上有一阶连续偏导数，则曲面积分R(x, y, z) dxdy 存在，且 Σ R(x, y, z) dxdy = ± D R(x, y, z(x ，y)) dxdy ,其中Dxy 是曲面 Σ 在 x 0 y 平 面内的投影， Σ 为上侧时取“+ ”号 , Σ为下侧时取“- ”号。（上正下负）"
定理 设积分曲面为光滑曲面 Σ ：x = x (y, Z) ， (y, Z) ∈ Dyz，
