计数组合学7.14（对偶 RSK 算法)
7.14 对偶 RSK 算法
存在 RSK 算法的一种变体，其与乘积 ∏i,j(1+xiyj)\prod_{i,j}(1 + x_{i}y_{j})∏i,j(1+xiyj) 的关系类似于 RSK 算法本身与 ∏i,j(1−xiyj)−1\prod_{i,j}(1 - x_{i}y_{j})^{-1}∏i,j(1−xiyj)−1 的关系。我们称此变体为对偶 RSK 算法并记为 A⟶RSK∗(P,Q)A \overset{\text{RSK}^*}{\longrightarrow} (P, Q)A⟶RSK∗(P,Q)。 矩阵 AAA 现在是一个有限支撑的 (0,1)(0, 1)(0,1)-矩阵。像之前一样构造双行数组 wAw_{A}wA。 对偶 RSK 算法的执行过程与 RSK 算法完全相同，区别在于元素 iii 撞出的是最左边 ≥i\geq i≥i 的元素，而不是最左边 >i> i>i 的元素。（特别地，对于置换矩阵，RSK 和 RSK* 是一致的。）由此可得 PPP 的每一行都是严格递增的。
7.14.1 例子
设
A=[101010101001010]A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}A=101000100110110
则
wA=(11233451321332)w_{A} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 3 & 2 & 1 & 3 & 3 & 2
\end{pmatrix}wA=(11132231334352)
由对偶 RSK 算法得到的数组 (P(1),Q(1)),…,(P(7),Q(7))(P(1), Q(1)), \ldots, (P(7), Q(7))(P(1),Q(1)),…,(P(7),Q(7))，其中 (P,Q)=(P(7),Q(7))(P, Q) = (P(7), Q(7))(P,Q)=(P(7),Q(7))，如下所示：
7.14.2 定理
对偶 RSK 算法建立了有限支撑的 (0,1)(0,1)(0,1)-矩阵 AAA 与满足以下条件的对 (P,Q)(P,Q)(P,Q) 之间的双射：P′P^{\prime}P′（PPP 的转置）和 QQQ 是半标准 Young 表 (SSYT)，且 sh(P)=sh(Q)\operatorname{sh}(P)=\operatorname{sh}(Q)sh(P)=sh(Q)。此外，col(A)=type(P)\operatorname{col}(A)=\operatorname{type}(P)col(A)=type(P) 且 row(A)=type(Q)\operatorname{row}(A)=\operatorname{type}(Q)row(A)=type(Q)。
定理 7.14.2 的证明类似于定理 7.11.5 的证明，故省略。
正如我们从普通 RSK 算法得到 Cauchy 恒等式 (7.44) 一样，我们有以下结果，称为对偶 Cauchy 恒等式。
7.14.3 定理
我们有
∏i,j(1+xiyj)=∑λsλ(x)sλ′(y).\prod_{i,j}(1+x_{i}y_{j})=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda^{\prime}}(y).i,j∏(1+xiyj)=λ∑sλ(x)sλ′(y).
定理 7.14.3 的一个重要推论是 ωsλ\omega s_{\lambda}ωsλ 的求值。首先我们需要观察 ω\omegaω（作用于 yyy 变量）对乘积 ∏i,j(1+xiyj)\prod_{i,j}(1+x_{i}y_{j})∏i,j(1+xiyj) 的影响。
7.14.4 引理
令 ωy\omega_{y}ωy 表示仅作用于 yyy 变量的 ω\omegaω（因此我们将 xix_{i}xi 视为与 ω\omegaω 交换的常数）。则
ωy∏i,j(1−xiyj)−1=∏i,j(1+xiyj).\omega_{y} \prod_{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1} = \prod_{i,j}(1+x_{i}y_{j}).ωyi,j∏(1−xiyj)−1=i,j∏(1+xiyj).
证明。我们有
ωy∏i,j(1−xiyj)−1=ωy∑λmλ(x)hλ(y)(由命题 7.7.4)\omega_{y} \prod_{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1} = \omega_{y} \sum_{\lambda} m_{\lambda}(x)h_{\lambda}(y) \quad \text{(由命题 7.7.4)}ωyi,j∏(1−xiyj)−1=ωyλ∑mλ(x)hλ(y)(由命题 7.7.4)
=∑λmλ(x)eλ(y)(由定理 7.6.1)= \sum_{\lambda} m_{\lambda}(x)e_{\lambda}(y) \quad \text{(由定理 7.6.1)}=λ∑mλ(x)eλ(y)(由定理 7.6.1)
=∏i,j(1+xiyj)(由命题 7.4.1).□= \prod_{i,j}(1+x_{i}y_{j}) \quad \text{(由命题 7.4.1)}. \quad \square=i,j∏(1+xiyj)(由命题 7.4.1).□
另一种证明可以通过将乘积 ∏i,j(1−xiyj)−1\prod_{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1}∏i,j(1−xiyj)−1 和 ∏i,j(1+xiyj)\prod_{i,j}(1+x_{i}y_{j})∏i,j(1+xiyj) 按幂和对称函数展开（等式 (7.20) 和 (7.21)）并应用命题 7.7.5 给出。
7.14.5 定理
对每个 λ∈Par\lambda\in\operatorname{Par}λ∈Par，我们有
ωsλ=sλ′.\omega s_{\lambda}=s_{\lambda^{\prime}}.ωsλ=sλ′.
证明。我们有
∑λsλ(x)sλ′(y)=∏i,j(1+xiyj)(由定理 7.14.3)\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda^{\prime}}(y) = \prod_{i,j}(1+x_{i}y_{j}) \quad \text{(由定理 7.14.3)}λ∑sλ(x)sλ′(y)=i,j∏(1+xiyj)(由定理 7.14.3)
=ωy∏i,j(1−xiyj)−1(由引理 7.14.4)= \omega_{y} \prod_{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1} \quad \text{(由引理 7.14.4)}=ωyi,j∏(1−xiyj)−1(由引理 7.14.4)
=ωy∑λsλ(x)sλ(y)(由定理 7.12.1)= \omega_{y} \sum_{\lambda} s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y) \quad \text{(由定理 7.12.1)}=ωyλ∑sλ(x)sλ(y)(由定理 7.12.1)
=∑λsλ(x)ωy(sλ(y)).= \sum_{\lambda} s_{\lambda}(x) \omega_{y} \left( s_{\lambda}(y) \right).=λ∑sλ(x)ωy(sλ(y)).
在两边取 sλ(x)s_{\lambda}(x)sλ(x) 的系数。由于 sλ(x)s_{\lambda}(x)sλ(x) 是线性无关的，我们得到 sλ′(y)=ωy(sλ(y))s_{\lambda^{\prime}}(y) = \omega_{y} \left( s_{\lambda}(y) \right)sλ′(y)=ωy(sλ(y))，或者简写为 sλ′=ωsλs_{\lambda^{\prime}} = \omega s_{\lambda}sλ′=ωsλ。 □\quad \square□
稍后（定理 7.15.6）我们会将定理 7.14.5 推广到斜 Schur 函数。
在命题 7.7.5 之后我们提到过，ω:Λn→Λn\omega:\Lambda^{n}\to\Lambda^{n}ω:Λn→Λn 的特征多项式等于 (x2−1)o(n)(x−1)k(n)(x^{2}-1)^{o(n)}(x-1)^{k(n)}(x2−1)o(n)(x−1)k(n)，其中 o(n)o(n)o(n) 是 Sn\mathfrak{S}_{n}Sn 中奇共轭类的数量，而 k(n)k(n)k(n) 是 nnn 的自共轭分拆的数量。特别地，特征值 111 的重数超过特征值 −1-1−1 的重数 k(n)k(n)k(n)。这个事实也是定理 7.14.5 的直接推论。因为如果 λ≠λ′\lambda\neq\lambda^{\prime}λ=λ′，那么 ω\omegaω 将 sλs_{\lambda}sλ 和 sλ′s_{\lambda^{\prime}}sλ′ 互换，对应一个特征值 111 和一个特征值 −1-1−1。剩下的是 k(n)k(n)k(n) 个满足 λ=λ′\lambda=\lambda^{\prime}λ=λ′ 的特征向量 sλs_{\lambda}sλ，其对应的特征值为 111。