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抽像代数概念理解——陪集(coset)

news 2025/11/12 7:28:08

0 关于群论中的符号记法特别说明

1. Cayley[kéili]图(Cayley Graph)

1.1 Cayley图说明

1.2 Cayley图定义

2. 陪集(coset)(左陪集和右陪集)

2.1 coset的词源

2.2 左陪集的定义

2.3 右陪集的定义

0 关于群论中的符号记法特别说明

在很多书中，通过将一个定律应用到一个数对a，b 而获得的元素通常采用一个类似于乘法或者加法的符号来书写：

p = ab, a × b，a ∘ b ，a + b ，

或者，无论如何，针对所讨论的(in question)特定定律做出选择。元素 p 可以称为 a 和 b 的乘积或和，具体取决于所选的符号。

大部分情况下，我将选用符号 ab(译注：即，这里的ab不能理解成乘法，而应理解成这两个元素通过某种二元运算生成的集合中另一元素，特定背景或特定说明除外)。使用乘积符号完成的任何操作都可以使用另一种符号(例如加法)重写，并且它将继续有效。重写只是改变了记法。(译注：需要注意的是，集合S是任意集合，不必一定是整数集合或特定集合。)

1. Cayley[kéili]图(Cayley Graph)

1.1 Cayley图说明

数学中的 Cayley 图(或Cayley diagram)又称为 Cayley 彩图、群图、或群彩图。群图将群的抽象结构编码。其根据 Cayley 定理(以 Arthur Cayley 的名字命名)的建议定义，并且利用了群的一个具体的生成元集。它是组合和几何群论的核心工具。Cayley图的结构和对称性使其成为构造扩展图的特别好的候选者。

1.2 Cayley图定义

定义：令 G 为一个群而 S 为G 的一个生成元集。则 Cayley 图 Γ = Γ( G , S ) 是一个按如下方式构造的彩边定向图：

• 给G 的每一个元素赋予一个顶点：将Γ 的顶点集与 G 关联起来。

• 给S的每一个元素 s 赋予一种颜色 $g_{s}$ 。

• 对于每一个 g∈G 和 s∈S ，存在一条从与 g 相对应的顶点到与s的顶点相对应的顶点的彩色定向边 $g_{s}$ 。

并不是每一个约定都要求 S 生成群。若 S 不产生G 的集合，则 Γ 不是连通的，且每一个连通分量都代表由S 生成的子群的一个陪集。

若S 的一个元素 s是其自身的逆，即， $s=s^{-1}$ , 则通常用一条无向边表示。

通常假设集合 S 是有限的，特别是在几何群论中，其对应局部有限的 Γ ，并且 G 是有限生成的。

有时候也假设集合 S 是对称的 (即 $S=S^{-1}$ ) 且不包含群的幺元。在这种情况下，非彩色 Cayley 图可以表示为一个简单的无向图。

2. 陪集(coset)(左陪集和右陪集)

2.1 coset的词源

单词“coset”由 “co-”(together,with, complement) + “set”构成，词义为“陪集，伴集”。由 G.A. Miller 于1916年在其关于群论的著作《Theory and Applications of Finite Groups》中引入。而陪集这个概念很可能出现得更早。这个词在本质上指的是“co-set”,表示它与另一个集合(子群)一起构成一个集合。

2.2 左陪集的定义

令 H 为一个群 G 的一个子集。若 a 是 G 的任意一个元素，则按乘法格式记为 aH 称为G中由a确定的H的左陪集,当 a 取遍G的所有元素时，就会得到H的很多陪集(左陪集或右陪集)。显然，a 包含于左陪集 aH 中，因为 H 包含单位元素。(注意：按乘法格式记为aH 并不表示这是乘法，并置记法只是表示群的运算，例如，加法群的群运算是加，乘法群的运算是乘。如果群运算按加法格式书写(例如，Abel 群 ) 通常改变记法为 g + H 或H + g 。)

若 b 是 aH 的任意一个元素，则左陪集 aH 和 bH 重叠。即，每一个左陪集都由任意其元素确定。一个左陪集的任意元素都是这个陪集的一个代表。

H 在 G中的任意两个左陪集或者相等，或者脱离(不相交), 即其交集为空。我们可以看到，整个群 G 划分成了关于子群 H 的脱离陪集。这称为G关于H 的左分解。这种分解的陪集之一就是群 H 自身：若元素a包含于中，则 aH = H 。

注意，对于G 中两个元素 a 和 b ，当且仅当 $a^{-1}b$ 包含于 H 中时，其位于H 的同一个左陪集中。

左陪集的几个例子：

例1：

如果 G 是整数加法群，H 是能被 4 整除的数的子群，则对于G 中两个数 a 和 b ，当且仅当它们被 4 除余数相同时，其位于 H 的同一个左陪集中。因此，G 关于H 的左分解由四个陪集组成：H 本身和被 4 除时余数分别为 1，2 和 3 的数集。

例2：

若 G 是三阶对称群，H = {(12)} , 则 G 的关于H 的左分解由三个陪集构成；由元素 1 和(12)构成的子群 H自身，由元素(13)和(123)构成的陪集 (13)• H ，以及由元素 (23) 和 (123) 构成的陪集 (23)• H 。

例3：

若 G 是一个具有实数元素的n阶非奇异矩阵群，而H 是行列式为1的矩阵子群，则如果我们将所有行列式相等的矩阵收集到一个陪集中，我们就得到了 G 关于 H 的左分解。

例 4 ：

整数可加群 $\mathbb{Z}^{+}$ 和子群 H = 5ℤ (5的整数倍数)。 H 的左陪集可以是 2 + H ，即集合 {…,-8 ,-3 ,2 , 7 , 12 ,… } 。另一个陪集可以是 7 + H ，即集合 {…,-13 ,-8 ,-3 , 2 , 7 ,12 ,17, … } 。注意，2 + H 和 7 + H 是不同的陪集。

在任意一个群 G 中，我们取 G 自身作为一个子群H ，则群G 的分解由一个单一的陪集色成，若 H 是单位子群 E ，则这个群的每一个元素都构成一个单独的陪集。

例 5 ：

令 H 为 $\mathbb{Z}_{6}$ (即集合{0，1，2，3，4，5，6}) 的由元素 0 和 3 构成的子群,即 H = {0，3}。

则左陪集是(左右陪集相同)：

0 + H = {0，3}

1 + H = {1，4}

2 + H = {2，5}

2.3 右陪集的定义

右陪集的定义与左陪集的定义类似。令 H 为一个群 G 的一个子集。若 a 是 G 的任意一个元素，则乘积 Ha 称为G中由a确定的H的右陪集。显然，a 包含于右陪集 Ha 中，因为 H 包含单位元素。每一个关于左陪集的属性也适用于右陪集，特别是 H 的右陪集之一是其自身。对于G 中两个元素a 和 b ，当且仅当 $ba^{-1}$ 包含于 H 中时，其位于H 的同一个右陪集中。