【高等数学】第八章 向量代数与空间解析几何——第一节 向量及其线性运算

上一节：【高等数学】第七章 微分方程——第十节 常系数线性微分方程组解法举例
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1. 向量的概念

• 客观世界中既有大小，又有方向的量称为向量（或矢量）
• 在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量.
  有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
  以$A$为起点、$B$为终点的有向线段所表示的向量记作$\overrightarrow{AB}$.
  有时也用一个黑体字母(书写时，在字母上面加箭头)来表示向量，例如$\mathbf{a}$、$\mathbf{r}$、$\mathbf{v}$、$\mathbf{F}$或$\vec{a}$、$\vec{r}$、$\vec{v}$、$\vec{F}$等.
• 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，因此在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方.
• 如果两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的大小相等，且方向相同，我们就说向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是相等的，记作$\mathbf{a}=\mathbf{b}$
• 向量的大小叫做向量的模
  模等于1的向量叫做单位向量.
  模等于零的向量叫做零向量，记作$0$或$\vec{0}$.
  零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的.
• 设有两个非零向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$,任取空间一点$O$,作$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$,规定不超过$\pi$的$\angle AOB$ (设$\phi =\angle AOB,0\le \phi \le \pi$)称为向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角，记作$⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$或$⟨\mathbf{b},\mathbf{a}⟩$,即$⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩=\phi$.
  如果向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0到$\pi$之间任意取值.
  如果$⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩=0$或$\pi$,就称向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$平行,记作$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$.
  如果$⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩=\frac{\pi }{2}$,就称向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$垂直,记作$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$.
  由于零向量与另一向量的夹角可以在0到$\pi$之间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量都平行,也可以认为零向量与任何向量都垂直.
• 当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上. 因此，两向量平行，又称两向量共线.
  类似还有向量共面的概念. 设有$k$ ($k\ge 3$)个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果$k$个终点和公共起点在一个平面上，就称这$k$个向量共面.

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