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世代距离（GD）和反转世代距离（IGD）详析

news 2025/8/2 6:53:06

前言

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文章目录

前言
- - 一、世代距离（GD）—— 聚焦收敛性的度量
  - - 1. 核心目标
    - 2. 数学公式与拆解
    - 3. 物理意义
    - 4. 可视化示例
  - 二、反转世代距离（IGD）—— 收敛+多样性双维度度量
  - - 1. 核心目标
    - 2. 数学公式与拆解
    - 3. 物理意义
    - 4. 可视化示例
  - 三、GD vs IGD —— 核心差异与适用场景
  - - 关键结论
  - 五、总结

一、世代距离（GD）—— 聚焦收敛性的度量

1. 核心目标

衡量近似解集 $A$ 到真实帕累托前沿 $PF$ 的“收敛差距”，即算法生成的解是否足够接近最优前沿。

2. 数学公式与拆解

$\frac{1}{|A|} \left( \sum_{i=1}^{|A|} \text{dis}(a_i, PF')^p \right)^{\frac{1}{p}}$

符号定义：
- $∣ A ∣$ ：近似解集 $A$ 的规模（解的数量，如算法最终保留的非支配解个数）；
- $P F^{'}$ ：真实帕累托前沿 $PF$ 的简化子集（因 $PF$ 可能连续，需采样离散点集，保证计算可行性）；
- $dis(ai,PF′)\text{dis}(a_i, PF')$ ：近似解 $a_i$ 到 $P F^{'}$ 的最小欧氏距离，即 $a_i$ 与 $P F^{'}$ 中所有点的距离最小值，公式为：
  $dis(ai,PF′)=min⁡p∈PF′∑m=1M(ai,m−pm)2\text{dis}(a_i, PF') = \min_{p \in PF'} \sqrt{\sum_{m=1}^M (a_{i,m} - p_m)^2}$
  （ $M$ 是目标维度， $a_{i,m}$ 是 $a_i$ 的第 $m$ 个目标值， $p_m$ 是 $P F^{'}$ 中点 $p$ 的第 $m$ 个目标值）；
- $p$ ：范数参数，通常取 $p = 2$ （计算均方根距离，突出离群点；取 $p = 1$ 则为平均距离）。

3. 物理意义

收敛性： $G D$ 越小，说明近似解整体越贴近真实帕累托前沿，算法的收敛性越好；
局限性：仅关注“解是否够好”，不衡量“解是否覆盖前沿”（比如所有解扎堆在前沿某区域， $G D$ 也可能很小，但多样性差）。

4. 可视化示例

二维可视化代码以及运行结果：

clc; clear; close all;%% 设置参数
N_true = 1000;   % 真实帕累托前沿点数（少量）
N_approx = 6;  % 近似前沿点数（更少）%% 生成 ZDT1 的真实帕累托前沿
x_true = linspace(0,1,N_true)';
f1_true = x_true;
f2_true = 1 - sqrt(x_true);
true_pf = [f1_true, f2_true];%% 模拟近似帕累托前沿（稍微偏离真实解）
rng(1);
x_approx = linspace(0.05, 0.95, N_approx)' + 0.05*randn(N_approx,1);
x_approx = min(max(x_approx,0),1);
f1_approx = x_approx;
f2_approx = 1 - sqrt(x_approx) + 0.5*randn(N_approx,1);
approx_pf = [f1_approx, f2_approx];%% 可视化解集
figure; hold on; grid on;
plot(f1_true, f2_true, 'g-', 'LineWidth', 1.5);
scatter(f1_approx, f2_approx, 50, 'r', 'filled');
legend('True PF', 'Approximate PF', 'Location','best');
xlabel('f1'); ylabel('f2');
title('ZDT1 Pareto Front & Approximate Solutions');%% 可视化计算过程 + GD
distances = zeros(N_approx, 1);
for i = 1:N_approx% 当前近似点p = approx_pf(i, :);% 到所有真实点的欧式距离d = vecnorm(true_pf - p, 2, 2);[min_dist, idx] = min(d);distances(i) = min_dist;% 可视化该点与最近真实点之间的距离线q = true_pf(idx, :);plot([p(1), q(1)], [p(2), q(2)], 'b--'); % 蓝色虚线表示距离
end% 计算 GD
GD = mean(distances);
text(0.1, 0.1, ['GD = ', num2str(GD, '%.4f')], 'FontSize', 12, 'BackgroundColor', 'w');

运行结果

三维可视化代码以及运行结果：

clc; clear; close all;%% 参数设置
M = 3;                  % 目标数（三维）
refPointsNum = 20000;    % 参考前沿点数量（大量）
approxPointsNum = 50;   % 近似解数量（较少）
disturbance = 0.1;     % 扰动大小（控制近似解与参考点距离）%% 生成参考帕累托前沿（单位球面均匀分布点）
theta1 = rand(refPointsNum,1)*pi/2;
theta2 = rand(refPointsNum,1)*pi/2;f1 = cos(theta1).*cos(theta2);
f2 = cos(theta1).*sin(theta2);
f3 = sin(theta1);
RefFront = [f1 f2 f3];
RefFront = RefFront ./ vecnorm(RefFront,2,2);%% 生成少量近似解，扰动控制在disturbance范围内
idxSample = randsample(refPointsNum, approxPointsNum);
PopObjs = RefFront(idxSample,:) + disturbance*randn(approxPointsNum, M);
PopObjs = max(PopObjs, 0);          % 保持非负
% PopObjs = PopObjs ./ vecnorm(PopObjs,2,2); % 归一化，保证落在球面附近
PopObjs = PopObjs;
%% 计算世代距离（GD）
distances = zeros(approxPointsNum,1);
for i = 1:approxPointsNumd = sqrt(sum((RefFront - PopObjs(i,:)).^2, 2));distances(i) = min(d);
end
GD = sqrt(sum(distances.^2))/approxPointsNum;fprintf('Generational Distance (GD): %.4f\n', GD);%% 可视化
figure; hold on; grid on; axis equal;
scatter3(RefFront(:,1), RefFront(:,2), RefFront(:,3), 10, 'g', 'filled');
scatter3(PopObjs(:,1), PopObjs(:,2), PopObjs(:,3), 60, 'r', 'filled');% 画距离连线
for i = 1:approxPointsNumd = sqrt(sum((RefFront - PopObjs(i,:)).^2, 2));[~, idx] = min(d);plot3([PopObjs(i,1) RefFront(idx,1)], ...[PopObjs(i,2) RefFront(idx,2)], ...[PopObjs(i,3) RefFront(idx,3)], 'b--');
endxlabel('Objective 1'); ylabel('Objective 2'); zlabel('Objective 3');
title(sprintf('DTLZ2 3-Objective Problem - GD=%.4f', GD));
legend('Reference Pareto Front','Approximate Solutions','Distance Lines');
view(45,30);

运行结果

二、反转世代距离（IGD）—— 收敛+多样性双维度度量

1. 核心目标

同时衡量近似解集 $A$ 的收敛性（贴近 $PF$ ）和多样性（覆盖 $PF$ ），即解是否“又好又全”。

2. 数学公式与拆解

$\frac{1}{|PF'|} \left( \sum_{i=1}^{|PF'|} \text{dis}(p_i, A)^p \right)^{\frac{1}{p}}$

符号定义：
- $∣ P F^{'} ∣$ ：真实帕累托前沿子集 $P F^{'}$ 的规模（采样点数量，需均匀覆盖 $PF$ ）；
- $dis(pi,A)\text{dis}(p_i, A)$ ： $P F^{'}$ 中的点 $p_i$ 到近似解集 $A$ 的最小欧氏距离（即 $p_i$ 与 $A$ 中最近点的距离），公式为：
  $dis(pi,A)=min⁡a∈A∑m=1M(pi,m−am)2\text{dis}(p_i, A) = \min_{a \in A} \sqrt{\sum_{m=1}^M (p_{i,m} - a_m)^2}$
  （ $p_{i,m}$ 是 $p_i$ 的第 $m$ 个目标值， $a_m$ 是 $A$ 中点 $a$ 的第 $m$ 个目标值）；
- $p$ ：同 GD，通常取 $p = 2$ 。

3. 物理意义

收敛性： $I G D$ 越小，说明 $P F^{'}$ 到 $A$ 的距离越小， $A$ 越贴近 $PF$ ；
多样性：若 $A$ 分布稀疏（比如只覆盖 $PF$ 的局部区域），则 $P F^{'}$ 中远离 $A$ 的点会使 $I G D$ 增大，因此 $I G D$ 能惩罚“解分布不均”的问题；
优势：相比 GD，IGD 更全面，能同时反映“解的质量”和“解的覆盖性”。

4. 可视化示例

二维可视化代码以及运行结果：

clc; 
clear; 
close all;%% 设置参数
N_true = 100;   % 真实帕累托前沿点数
N_approx = 6;    % 近似前沿点数
perturbation_size = 0.5;  % 扰动大小%% 生成 ZDT1 的真实帕累托前沿
x_true = linspace(0, 1, N_true)';
f1_true = x_true;
f2_true = 1 - sqrt(x_true);
true_pf = [f1_true, f2_true];%% 模拟近似帕累托前沿（稍微偏离真实解）
rng(1);
x_approx = linspace(0.05, 0.95, N_approx)' + perturbation_size * randn(N_approx, 1);
x_approx = min(max(x_approx, 0), 1);  % 限制在 [0, 1] 范围内
f1_approx = x_approx;
f2_approx = 1 - sqrt(x_approx) + perturbation_size * randn(N_approx, 1);
approx_pf = [f1_approx, f2_approx];%% 可视化解集
figure; hold on; grid on;
plot(f1_true, f2_true, 'g-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'True PF');  % 绘制真实帕累托前沿
scatter(f1_approx, f2_approx, 50, 'r', 'filled', 'DisplayName', 'Approximate PF');  % 绘制近似前沿
xlabel('f1'); ylabel('f2');
title('ZDT1 Pareto Front & Approximate Solutions');%% 计算 IGD
distances = zeros(N_true, 1);  % 存储每个真实点到最近近似点的距离
for i = 1:N_true% 当前真实点p = true_pf(i, :);% 到所有近似点的欧式距离d = vecnorm(approx_pf - p, 2, 2);% 记录最近的距离distances(i) = min(d);
end% 计算 IGD
IGD = mean(distances);
% 可视化计算过程
for i = 1:N_true% 当前真实点p = true_pf(i, :);% 到所有近似点的欧式距离d = vecnorm(approx_pf - p, 2, 2);[min_dist, idx] = min(d);  % 找到最近的近似点% 可视化该真实点与最近近似点之间的距离线q = approx_pf(idx, :);plot([p(1), q(1)], [p(2), q(2)], 'b--'); % 蓝色虚线表示距离
end% 显示 IGD
text(0.1, 0.1, ['IGD = ', num2str(IGD, '%.4f')], 'FontSize', 12, 'BackgroundColor', 'w');% 添加图例，显示'非数据'标签
legend('True PF', 'Approximate PF', 'Location', 'best');
hold off;

运行结果

三维可视化代码以及运行结果：

clc; clear; close all;%% 参数配置
M = 3;                  % 目标函数维度（三维）
refPointsNum = 50;     % 参考帕累托前沿点数量
approxPointsNum = 8;   % 近似解数量
disturbance = 0.08;     % 扰动大小（控制近似解质量）%% 生成DTLZ2参考帕累托前沿（PF）
theta1 = linspace(0, pi/2, sqrt(refPointsNum))';
theta2 = linspace(0, pi/2, sqrt(refPointsNum));
[Theta1, Theta2] = meshgrid(theta1, theta2);% 计算目标函数值
f1 = cos(Theta1) .* cos(Theta2);
f2 = cos(Theta1) .* sin(Theta2);
f3 = sin(Theta1);% 转换为向量形式并归一化
PF = [f1(:) f2(:) f3(:)];
PF = PF ./ vecnorm(PF, 2, 2);  % 单位球面归一化%% 生成近似解（A）
idxSample = randsample(size(PF, 1), approxPointsNum);
A = PF(idxSample, :) + disturbance * randn(approxPointsNum, M);
A = max(min(A, 1), 0);  % 限制在合理范围%% 计算反转世代距离（IGD）
% IGD公式：IGD = (1/|PF|) * Σ(min距离(PF_i, A)) 
% 物理意义：每个参考点到最近近似解的平均距离（PF→A）
igd_distances = zeros(size(PF, 1), 1);
for i = 1:size(PF, 1)% 计算PF中每个点到所有近似解的距离dists = sqrt(sum((A - PF(i, :)).^2, 2));igd_distances(i) = min(dists);  % 取最近距离
end
IGD = mean(igd_distances);%% 计算世代距离（GD）
% GD公式：GD = (1/|A|) * Σ(min距离(A_j, PF))
% 物理意义：每个近似解到最近参考点的平均距离（A→PF）
gd_distances = zeros(size(A, 1), 1);
for j = 1:size(A, 1)% 计算每个近似解到所有PF点的距离dists = sqrt(sum((PF - A(j, :)).^2, 2));gd_distances(j) = min(dists);  % 取最近距离
end
GD = mean(gd_distances);%% 输出结果
fprintf('反转世代距离 (IGD)：%.4f\n', IGD);
fprintf('世代距离 (GD)：%.4f\n', GD);%% 可视化对比
figure('Position', [100, 100, 1200, 600], 'Color', 'w');% 左侧：IGD可视化（PF→A的距离）
subplot(1, 2, 1); hold on; grid on; axis equal;
scatter3(PF(:, 1), PF(:, 2), PF(:, 3), 15, [0.2 0.8 0.2], ...'filled', 'MarkerEdgeColor', 'k', 'DisplayName', '参考前沿(PF)');
scatter3(A(:, 1), A(:, 2), A(:, 3), 80, [0.9 0.2 0.2], ...'filled', 'MarkerEdgeColor', 'k', 'DisplayName', '近似解(A)');% 绘制IGD距离线（PF到A的最近距离）
for i = 1:min(50, size(PF, 1))  % 采样部分点绘制，避免图过乱dists = sqrt(sum((A - PF(i, :)).^2, 2));[~, nearestIdx] = min(dists);plot3([PF(i, 1), A(nearestIdx, 1)], ...[PF(i, 2), A(nearestIdx, 2)], ...[PF(i, 3), A(nearestIdx, 3)], ...'b--', 'LineWidth', 0.5, 'HandleVisibility', 'off');
end
title(sprintf('IGD 可视化 (值 = %.4f)', IGD), 'FontSize', 12);
xlabel('f_1'); ylabel('f_2'); zlabel('f_3');
legend('Location', 'best');
view(35, 30);% 右侧：GD可视化（A→PF的距离）
subplot(1, 2, 2); hold on; grid on; axis equal;
scatter3(PF(:, 1), PF(:, 2), PF(:, 3), 15, [0.2 0.8 0.2], ...'filled', 'MarkerEdgeColor', 'k', 'DisplayName', '参考前沿(PF)');
scatter3(A(:, 1), A(:, 2), A(:, 3), 80, [0.9 0.2 0.2], ...'filled', 'MarkerEdgeColor', 'k', 'DisplayName', '近似解(A)');% 绘制GD距离线（A到PF的最近距离）
for j = 1:size(A, 1)dists = sqrt(sum((PF - A(j, :)).^2, 2));[~, nearestIdx] = min(dists);plot3([A(j, 1), PF(nearestIdx, 1)], ...[A(j, 2), PF(nearestIdx, 2)], ...[A(j, 3), PF(nearestIdx, 3)], ...'m--', 'LineWidth', 0.5, 'HandleVisibility', 'off');
end
title(sprintf('GD 可视化 (值 = %.4f)', GD), 'FontSize', 12);
xlabel('f_1'); ylabel('f_2'); zlabel('f_3');
legend('Location', 'best');
view(35, 30);hold off;