NSGA-III（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm III）简介

前言

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NSGA-III（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm III）是一种先进的多目标进化算法，由Deb和Jain在2014年提出。它是NSGA-II的改进版本，特别适用于处理多目标（通常是3个或更多目标）优化问题。

引用于论文：《Qualitative analysis in many-objective optimization with visualization methods》

1. 算法核心思想

NSGA-III的核心思想是使用预定义的参考点（reference points）来维持种群的多样性，而不是像NSGA-II那样依赖拥挤距离。

2. 主要组成部分

2.1 非支配排序

对于两个解$x_i$和$x_j$，如果满足以下条件，则称$x_i$支配$x_j$（记作$x_i\prec x_j$）：

∀k∈{1,2,...,m}:fk(xi)≤fk(xj)且 ∃k:fk(xi)<fk(xj)\forall k \in \{1,2,...,m\}: f_k(x_i) \leq f_k(x_j) \text{ 且 } \exists k: f_k(x_i) < f_k(x_j)∀k∈{1,2,...,m}:fk​(xi​)≤fk​(xj​) 且 ∃k:fk​(xi​)<fk​(xj​)

其中$m$是目标函数的数量，$f_k$是第$k$个目标函数。

2.2 参考点生成

NSGA-III使用Das和Dennis方法生成均匀分布的参考点。对于$m$个目标和分割数$p$，参考点的总数为：

$$H=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+p-1}{p}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+p-1}{m-1}\right)$$

每个参考点的坐标为：
$$z^j=\left(\frac{{\lambda }_1^j}{p},\frac{{\lambda }_2^j}{p},...,\frac{{\lambda }_m^j}{p}\right)$$

其中${\lambda }_i^j\ge 0$且${\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i^j=p$。

2.3 目标函数归一化

为了确保不同目标函数具有相同的重要性，需要进行归一化：

$$f_i^{norm}(x)=\frac{f_i(x)-z_i^{min}}{z_i^{max}-z_i^{min}}$$

其中：

• $z_i^{min}$是第$i$个目标的最小值
• $z_i^{max}$是第$i$个目标的最大值

2.4 关联操作

每个解与最近的参考点关联。解$x$到参考点$z^j$的垂直距离计算如下：

$$d(x,z^j)=\Vert f^{norm}(x)-(f^{norm}(x)\cdot \widehat{z^j})\widehat{z^j}\Vert$$

其中$\widehat{z^j}$是参考点$z^j$的单位向量：
$$\widehat{z^j}=\frac{z^j}{\Vert z^j\Vert }$$

3. 算法流程

3.1 主要步骤

1. 初始化：生成初始种群$P_0$，设置参考点集合$Z$
2. 评估：计算所有个体的目标函数值
3. 非支配排序：将种群分为不同的前沿层$F_1,F_2,...,F_l$
4. 选择操作：
   • 将前$l-1$层直接加入下一代
   • 对第$l$层使用参考点引导的选择

3.2 参考点引导的选择

对于需要从第$l$层选择的个体，算法执行以下步骤：

1. 关联计数：计算每个参考点关联的个体数量${\rho }_j$
2. 选择策略：优先选择关联到个体数量较少的参考点的个体

选择概率与参考点的关联个体数量成反比：
$$P(z^j)\propto \frac{1}{{\rho }_j+1}$$

4. 关键优势

1. 处理高维目标：能够有效处理3个以上目标的优化问题
2. 均匀分布：通过参考点机制确保解的均匀分布
3. 参数较少：主要参数只有参考点的分割数
4. 计算效率：相比其他多目标算法具有较好的计算效率

5. 数学复杂度

• 时间复杂度：$O(M{N}^2)$，其中$M$是目标数量，$N$是种群大小
• 空间复杂度：$O(N\cdot M+H)$，其中$H$是参考点数量

6. 应用场景

NSGA-III特别适用于：

• 工程设计优化
• 资源分配问题
• 多准则决策
• 机器学习超参数优化

NSGA-III通过引入参考点机制，有效解决了传统多目标算法在处理高维目标空间时的局限性，是目前多目标优化领域的重要算法之一。