第2课：几何数学
阶段一：第2课：几何数学
一、课程目标
掌握图形学中常用的几何数学基础，包括向量、矩阵的运算及空间变换原理。
二、向量(Vector)
1. 向量的基本概念
- 定义：既有大小又有方向的量，区别于只有大小的标量。
- 表示方法：
- 几何表示：带箭头的线段
- 坐标表示：二维向量(x,y)，三维向量(x,y,z)
2. 向量运算
（1）加法与减法
- 几何意义：遵循平行四边形法则或三角形法则
- 坐标运算：对应分量相加减
若向量A=(x₁,y₁,z₁)，向量B=(x₂,y₂,z₂) 则A+B=(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
（2）数乘
- 几何意义：缩放向量长度，方向可能反转
- 坐标运算：各分量乘以标量
若向量A=(x,y,z)，标量k 则kA=(kx,ky,kz)
（3）点积(Dot Product)
- 定义：A·B = |A||B|cosθ
- 坐标运算：
A·B = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ - 几何应用：
- 计算两向量夹角
- 判断方向关系（同向、垂直、反向）
- 投影计算
（4）叉积(Cross Product)
- 定义：A×B = |A||B|sinθ·n（n为垂直于A和B的单位向量）
- 坐标运算：
A×B = (y₁z₂-y₂z₁, z₁x₂-z₂x₁, x₁y₂-x₂y₁) - 几何应用：
- 计算垂直于两向量的法向量
- 判断向量的左右/内外关系
- 计算平行四边形面积
3. 向量的归一化(Normalization)
- 定义：将向量缩放为单位长度（模长为1）
- 计算方法：
单位向量 Â = A/|A| 其中|A| = √(x²+y²+z²)
三、矩阵(Matrix)
1. 矩阵的基本概念
- 定义：由m行n列数排列成的矩形阵列
- 表示方法：[aᵢⱼ]，其中i为行标，j为列标
2. 矩阵运算
（1）矩阵加法与减法
- 条件：同型矩阵（行数和列数相同）
- 运算规则：对应元素相加减
（2）矩阵乘法
- 条件：左矩阵列数等于右矩阵行数
- 运算规则：
若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则C=AB为m×p矩阵 Cᵢⱼ = Σ(Aᵢₖ×Bₖⱼ) （k从1到n） - 重要性质：
- 不满足交换律：AB≠BA
- 满足结合律：(AB)C=A(BC)
（3）矩阵与向量的乘法
- 几何意义：对向量进行变换（旋转、缩放、平移等）
- 运算规则：将向量视为列矩阵进行乘法
3. 特殊矩阵
（1）单位矩阵(Identity Matrix)
- 定义：主对角线元素为1，其余元素为0的方阵
- 性质：任何矩阵乘以单位矩阵等于本身
（2）转置矩阵(Transpose Matrix)
- 定义：将原矩阵的行和列互换得到的矩阵
- 表示：Aᵀ
（3）逆矩阵(Inverse Matrix)
- 定义：对于方阵A，若存在方阵B使得AB=BA=I，则B为A的逆矩阵，记为A⁻¹
- 性质：
- 只有行列式不为0的方阵才有逆矩阵
- (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
四、空间变换
1. 变换的分类
- 线性变换：保持向量加法和数乘的变换（旋转、缩放）
- 仿射变换：线性变换+平移
- 投影变换：将三维空间投影到二维平面
2. 基本变换矩阵
（1）平移变换
[x'] [1 0 0 tx] [x]
[y'] = [0 1 0 ty] [y]
[z'] [0 0 1 tz] [z]
[1 ] [0 0 0 1 ] [1]
（2）旋转变换
- 绕Z轴旋转θ角：
[x'] [cosθ -sinθ 0 0] [x]
[y'] = [sinθ cosθ 0 0] [y]
[z'] [0 0 1 0] [z]
[1 ] [0 0 0 1] [1]
- 绕X轴、Y轴旋转的矩阵类似
（3）缩放变换
[x'] [sx 0 0 0] [x]
[y'] = [0 sy 0 0] [y]
[z'] [0 0 sz 0] [z]
[1 ] [0 0 0 1] [1]
3. 齐次坐标(Homogeneous Coordinates)
- 引入目的：用矩阵运算统一表示线性变换和平移变换
- 表示方法：将三维坐标(x,y,z)表示为四维坐标(x,y,z,w)
- 当w=1时，表示点
- 当w=0时，表示向量
4. 变换的组合
- 顺序问题：变换矩阵的乘法顺序不可交换
- 一般顺序：缩放→旋转→平移
五、实践案例
1. 向量运算实现
import mathclass Vector3:def __init__(self, x=0, y=0, z=0):self.x = xself.y = yself.z = zdef __add__(self, other):return Vector3(self.x+other.x, self.y+other.y, self.z+other.z)def __sub__(self, other):return Vector3(self.x-other.x, self.y-other.y, self.z-other.z)def dot(self, other):return self.x*other.x + self.y*other.y + self.z*other.zdef cross(self, other):return Vector3(self.y*other.z - self.z*other.y,self.z*other.x - self.x*other.z,self.x*other.y - self.y*other.x)def magnitude(self):return math.sqrt(self.x**2 + self.y**2 + self.z**2)def normalize(self):mag = self.magnitude()if mag != 0:return Vector3(self.x/mag, self.y/mag, self.z/mag)return Vector3()
2. 矩阵运算实现
class Matrix4x4:def __init__(self):# 初始化为单位矩阵self.data = [[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]def multiply(self, other):result = Matrix4x4()for i in range(4):for j in range(4):result.data[i][j] = sum(self.data[i][k] * other.data[k][j] for k in range(4))return result@staticmethoddef translation(tx, ty, tz):m = Matrix4x4()m.data[0][3] = txm.data[1][3] = tym.data[2][3] = tzreturn m@staticmethoddef rotation_z(angle):m = Matrix4x4()c = math.cos(angle)s = math.sin(angle)m.data[0][0] = cm.data[0][1] = -sm.data[1][0] = sm.data[1][1] = creturn mdef transform_point(self, point):x = self.data[0][0]*point.x + self.data[0][1]*point.y + self.data[0][2]*point.z + self.data[0][3]y = self.data[1][0]*point.x + self.data[1][1]*point.y + self.data[1][2]*point.z + self.data[1][3]z = self.data[2][0]*point.x + self.data[2][1]*point.y + self.data[2][2]*point.z + self.data[2][3]return Vector3(x, y, z)
六、课后练习
- 实现向量类的反射向量计算方法
- 推导绕Y轴旋转的变换矩阵
- 编写代码实现点在复合变换下的坐标计算
- 思考：为什么变换矩阵的乘法顺序很重要？
七、参考资料
- 《3D数学基础：图形与游戏开发》
- 《计算机图形学》（Foley版）
- OpenGL官方文档
- GLSL着色语言规范