算法思想之 BFS 解决 最短路问题

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本篇主题：算法思想之 BFS 解决 最短路问题
发布时间：2025.7.30
隶属专栏：算法

算法介绍

BFS（广度优先搜索）通过 “逐层扩散” 的方式遍历图中节点，这种特性使其在无权图或边权相等的图中，能天然找到从起点到目标节点的最短路径。其核心逻辑在于：越早被访问到的节点，距离起点越近。当首次抵达目标节点时，所经过的路径必然是边数最少的最短路径。

算法适用场景

• 无权图的最短路径计算（如社交网络中两人的最短好友链）
• 边权值均为 1 的图（如网格中移动一步的代价固定）
• 迷宫类问题（从起点到终点的最少步数）
• 层次化结构的遍历（如二叉树的最小深度）

实现步骤与关键要素

1. 图的表示方式
   • 邻接表：适用于稀疏图，用vector<vector<int>>存储每个节点的邻接节点
   • 邻接矩阵：适用于稠密图，用二维数组graph[i][j]表示节点 i 与 j 是否相连
   • 网格结构：用二维数组表示，通过方向数组遍历相邻单元格
2. 核心数据结构
   • 队列（queue）：存储待访问的节点，保证按层次顺序处理
   • 距离记录（dist）：数组或矩阵，记录起点到各节点的最短距离，初始化为 - 1（未访问）
   • 前驱节点（prev）：可选，用于回溯还原完整路径
3. 算法执行流程
   • 初始化：起点入队，距离设为 0
   • 循环处理：
     • 取出队首节点 u，遍历其所有邻接节点 v
     • 若 v 未访问（dist [v] = -1），则设置 dist [v] = dist [u] + 1，记录前驱 prev [v] = u，将 v 入队
     • 若 v 是目标节点，可提前退出循环
   • 结果：dist [目标节点] 即为最短距离，通过 prev 数组可还原路径

例题

迷宫中离入口最近的出口

题目链接

1926. 迷宫中离入口最近的出口

题目描述

给你一个 m x n 的迷宫矩阵 maze （下标从 0 开始），矩阵中有空格子（用 '.' 表示）和墙（用 '+' 表示）。同时给你迷宫的入口 entrance ，用 entrance = [entrancerow, entrancecol] 表示你一开始所在格子的行和列。

每一步操作，你可以往 上， 下， 左 或者 右 移动一个格子。你不能进入墙所在的格子，你也不能离开迷宫。你的目标是找到离 entrance 最近 的出口。出口 的含义是 maze 边界 上的 空格子。entrance 格子 不算 出口。

请你返回从 entrance 到最近出口的最短路径的 步数 ，如果不存在这样的路径，请你返回 -1 。

示例 1：

输入：maze = [[“+”,“+”,“.”,“+”],[“.”,“.”,“.”,“+”],[“+”,“+”,“+”,“.”]], entrance = [1,2]
输出：1
解释：总共有 3 个出口，分别位于 (1,0)，(0,2) 和 (2,3) 。
一开始，你在入口格子 (1,2) 处。
你可以往左移动 2 步到达 (1,0) 。
你可以往上移动 1 步到达 (0,2) 。
从入口处没法到达 (2,3) 。
所以，最近的出口是 (0,2) ，距离为 1 步。

示例 2：

输入：maze = [[“+”,“+”,“+”],[“.”,“.”,“.”],[“+”,“+”,“+”]], entrance = [1,0]
输出：2
解释：迷宫中只有 1 个出口，在 (1,2) 处。
(1,0) 不算出口，因为它是入口格子。
初始时，你在入口与格子 (1,0) 处。
你可以往右移动 2 步到达 (1,2) 处。
所以，最近的出口为 (1,2) ，距离为 2 步。

示例 3：

输入：maze = [[“.”,“+”]], entrance = [0,0]
输出：-1
解释：这个迷宫中没有出口。

提示：

• maze.length == m
• maze[i].length == n
• 1 <= m, n <= 100
• maze[i][j] 要么是 '.' ，要么是 '+' 。
• entrance.length == 2
• 0 <= entrancerow < m
• 0 <= entrancecol < n
• entrance 一定是空格子。

算法思路

利用层序遍历来解决迷宫问题，是最经典的做法。

我们可以从起点开始层序遍历，并且在遍历的过程中记录当前遍历的层数。这样就能在找到出口的时候，得到起点到出口的最短距离

代码实现

class Solution {typedef pair<int, int> PII;int dx[4] = {0, 0, 1, -1};int dy[4] = {-1, 1, 0, 0};
public:int nearestExit(vector<vector<char>>& maze, vector<int>& entrance) {int m = maze.size();int n = maze[0].size();bool vis[101][101];memset(vis,0, sizeof(vis));queue<PII> q;q.push({entrance[0], entrance[1]});vis[entrance[0]][entrance[1]] = true;int ret = 0;while(q.size()){ret++;int k = q.size();while(k--){auto [a,b] = q.front();q.pop();for(int i = 0; i < 4; i++){int x = a+dx[i],y = b+dy[i];if(x>=0 && x<m && y>=0 && y<n && maze[x][y] == '.' &&vis[x][y] == false){if(x == 0 || y == 0 || x == m-1 || y == n-1)return ret;vis[x][y] = true;q.push({x,y});}}}}return -1;}
};

最小基因变化

题目链接

433. 最小基因变化

题目描述

基因序列可以表示为一条由 8 个字符组成的字符串，其中每个字符都是 'A'、'C'、'G' 和 'T' 之一。

假设我们需要调查从基因序列 start 变为 end 所发生的基因变化。一次基因变化就意味着这个基因序列中的一个字符发生了变化。

• 例如，"AACCGGTT" --> "AACCGGTA" 就是一次基因变化。

另有一个基因库 bank 记录了所有有效的基因变化，只有基因库中的基因才是有效的基因序列。（变化后的基因必须位于基因库 bank 中）

给你两个基因序列 start 和 end ，以及一个基因库 bank ，请你找出并返回能够使 start 变化为 end 所需的最少变化次数。如果无法完成此基因变化，返回 -1 。

注意：起始基因序列 start 默认是有效的，但是它并不一定会出现在基因库中。

示例 1：

输入：start = “AACCGGTT”, end = “AACCGGTA”, bank = [“AACCGGTA”]
输出：1

示例 2：

输入：start = “AACCGGTT”, end = “AAACGGTA”, bank = [“AACCGGTA”,“AACCGCTA”,“AAACGGTA”]
输出：2

示例 3：

输入：start = “AAAAACCC”, end = “AACCCCCC”, bank = [“AAAACCCC”,“AAACCCCC”,“AACCCCCC”]
输出：3

提示：

• start.length == 8
• end.length == 8
• 0 <= bank.length <= 10
• bank[i].length == 8
• start、end 和 bank[i] 仅由字符 ['A', 'C', 'G', 'T'] 组成

算法思路

如果将每次字符串的变换抽象成图中的两个顶点和一条边的话，问题就变成了 边权为 1的最短路问题。

因此，从起始的字符串开始，来一次 bfs 即可。

代码实现

class Solution {
public:int minMutation(string startGene, string endGene, vector<string>& bank) {unordered_set<string> hash(bank.begin(), bank.end());unordered_set<string> vis;if(startGene == endGene)return 0;if(!hash.count(endGene))return -1;string change = "ACTG";queue<string> q;q.push(startGene);vis.insert(startGene);int ret = 0;while(q.size()){ret++;int k = q.size();while(k--){string tmp = q.front();q.pop();for(int i = 0; i < 8; i++){string t = tmp;for(int j = 0; j < 4; j++){t[i] = change[j];if(hash.count(t) && !vis.count(t)){if(t == endGene)return ret; q.push(t);vis.insert(t);}}}}}return -1;}
};

单词接龙

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127. 单词接龙

题目描述

字典 wordList 中从单词 beginWord 到 endWord 的 转换序列 是一个按下述规格形成的序列 beginWord -> s1 -> s2 -> ... -> sk：

• 每一对相邻的单词只差一个字母。
• 对于 1 <= i <= k 时，每个 si 都在 wordList 中。注意， beginWord 不需要在 wordList 中。
• sk == endWord

给你两个单词 beginWord 和 endWord 和一个字典 wordList ，返回 从 beginWord 到 endWord 的 最短转换序列 中的 单词数目 。如果不存在这样的转换序列，返回 0 。

示例 1：

输入：beginWord = “hit”, endWord = “cog”, wordList = [“hot”,“dot”,“dog”,“lot”,“log”,“cog”]
输出：5
解释：一个最短转换序列是 “hit” -> “hot” -> “dot” -> “dog” -> “cog”, 返回它的长度 5。

示例 2：

输入：beginWord = “hit”, endWord = “cog”, wordList = [“hot”,“dot”,“dog”,“lot”,“log”]
输出：0
解释：endWord “cog” 不在字典中，所以无法进行转换。

提示：

• 1 <= beginWord.length <= 10
• endWord.length == beginWord.length
• 1 <= wordList.length <= 5000
• wordList[i].length == beginWord.length
• beginWord、endWord 和 wordList[i] 由小写英文字母组成
• beginWord != endWord
• wordList 中的所有字符串 互不相同

算法思路

此题的算法思路和上一题一样！

代码实现

class Solution {
public:int ladderLength(string beginWord, string endWord, vector<string>& wordList) {unordered_set<string> hash(wordList.begin(), wordList.end());unordered_set<string> vis;if(!hash.count(endWord)) return 0;int n = endWord.size();string change = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";queue<string> q;q.push(beginWord);if(hash.count(beginWord))vis.insert(beginWord);int ret = 1;while(q.size()){ret++;int k = q.size();while(k--){string tmp = q.front();q.pop();for(int i = 0; i < n; i++){string t = tmp;for(int j = 0; j < 26; j++){t[i] = change[j];if(hash.count(t) && !vis.count(t)){if(t == endWord)return ret;q.push(t);vis.insert(t);}}}}}return 0;}
};

为高尔夫比赛砍树

题目链接

675. 为高尔夫比赛砍树

题目描述

你被请来给一个要举办高尔夫比赛的树林砍树。树林由一个 m x n 的矩阵表示， 在这个矩阵中：

• 0 表示障碍，无法触碰
• 1 表示地面，可以行走
• 比 1 大的数 表示有树的单元格，可以行走，数值表示树的高度

每一步，你都可以向上、下、左、右四个方向之一移动一个单位，如果你站的地方有一棵树，那么你可以决定是否要砍倒它。

你需要按照树的高度从低向高砍掉所有的树，每砍过一颗树，该单元格的值变为 1（即变为地面）。

你将从 (0, 0) 点开始工作，返回你砍完所有树需要走的最小步数。 如果你无法砍完所有的树，返回 -1 。

可以保证的是，没有两棵树的高度是相同的，并且你至少需要砍倒一棵树。

示例 1：

输入：forest = [[1,2,3],[0,0,4],[7,6,5]]
输出：6
解释：沿着上面的路径，你可以用 6 步，按从最矮到最高的顺序砍掉这些树。

示例 2：

输入：forest = [[1,2,3],[0,0,0],[7,6,5]]
输出：-1
解释：由于中间一行被障碍阻塞，无法访问最下面一行中的树。

示例 3：

输入：forest = [[2,3,4],[0,0,5],[8,7,6]]
输出：6
解释：可以按与示例 1 相同的路径来砍掉所有的树。
(0,0) 位置的树，可以直接砍去，不用算步数。

提示：

• m == forest.length
• n == forest[i].length
• 1 <= m, n <= 50
• 0 <= forest[i][j] <= 109

算法思路

1. 先找出砍树的顺序；
2. 然后按照砍树的顺序，一个一个的用 bfs 求出最短路即可。

代码实现

class Solution {int m,n;
public:int cutOffTree(vector<vector<int>>& forest) {m = forest.size();n = forest[0].size();vector<pair<int, int>> trees;for(int i = 0; i < m; i++)for(int j = 0; j < n; j++)if(forest[i][j] > 1)trees.push_back({i,j});sort(trees.begin(), trees.end(), [&](const pair<int, int>& p1, const pair<int, int>& p2){return forest[p1.first][p1.second] < forest[p2.first][p2.second];   });int x = 0, y = 0;int ret = 0;for(auto& [a,b] : trees){int step = bfs(forest,x,y,a,b);if(step == -1)return -1;ret+=step;x=a,y=b;}return ret;}bool vis[51][51];int dx[4] = {0,0,1,-1};int dy[4] = {-1,1,0,0};int bfs(vector<vector<int>>& forest,int bx,int by, int ex, int ey){if(bx == ex & by == ey) return 0;memset(vis, 0, sizeof(vis));queue<pair<int, int>> q;q.push({bx,by});vis[bx][by] = true;int step = 0;while(q.size()){step++;int k = q.size();while(k--){auto [a,b] = q.front();q.pop();for(int i = 0; i < 4; i++){int x = a+dx[i], y = b+dy[i];if(x>=0 && x<m && y>=0 && y<n && forest[x][y] && vis[x][y]==false){if(x==ex && y==ey)return step;q.push({x,y});vis[x][y] = true;}}}}return -1;}
};

⚠️ 写在最后：以上内容是我在学习以后得一些总结和概括，如有错误或者需要补充的地方欢迎各位大佬评论或者私信我交流！！！