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3D空间中的变换矩阵

news 2025/8/4 3:15:42

3D 空间中的变换矩阵详解

在 3D 计算机图形学中，所有几何变换都可以通过 4×4 齐次变换矩阵 来表示。以下详细介绍各种变换矩阵及其原理。

核心变换矩阵

1. 单位矩阵（不变变换）

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 平移矩阵（Translation）

将点 $p=[x,y,z,1]T\mathbf{p} = [x, y, z, 1]^T$ 沿向量 $t=[tx,ty,tz]\mathbf{t} = [t_x, t_y, t_z]$ 移动：

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

变换后坐标：
$\cdot p = [x+t_x, y+t_y, z+t_z, 1]^T$

T逆矩阵：将 $t_x,t_y,t_z)$ 取负

3. 缩放矩阵（Scaling）

沿坐标轴缩放，缩放因子 $s_x, s_y, s_z)$ ：

$\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

特殊类型：

均匀缩放： $s_x = s_y = s_z$
镜像：某个分量为负（如 $s_x = -1$ ）
逆矩阵：使用 $1/s_x,1/s_y,1/s_z)$ （假设因子不为0）。

4. 旋转矩阵（Rotation）

a) 绕坐标轴旋转

旋转轴	矩阵
X轴	$Rx(θ)=[10000cos⁡θ−sin⁡θ00sin⁡θcos⁡θ00001]R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
Y轴	$Ry(θ)=[cos⁡θ0sin⁡θ00100−sin⁡θ0cos⁡θ00001]R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
Z轴	$Rz(θ)=[cos⁡θ−sin⁡θ00sin⁡θcos⁡θ0000100001]R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

旋转方向：右手坐标系中，逆时针为正方向（从旋转轴正向观察）

b) 绕任意轴旋转（Rodrigues公式）

绕单位向量 $u=[ux,uy,uz]\mathbf{u} = [u_x, u_y, u_z]$ 旋转角度 $θ\theta$ ：

$R(\mathbf{u}, \theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta + u_x^2(1-\cos\theta) & u_xu_y(1-\cos\theta) - u_z\sin\theta & u_xu_z(1-\cos\theta) + u_y\sin\theta & 0 \\ u_yu_x(1-\cos\theta) + u_z\sin\theta & \cos\theta + u_y^2(1-\cos\theta) & u_yu_z(1-\cos\theta) - u_x\sin\theta & 0 \\ u_zu_x(1-\cos\theta) - u_y\sin\theta & u_zu_y(1-\cos\theta) + u_x\sin\theta & \cos\theta + u_z^2(1-\cos\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

5. 组合变换矩阵

变换矩阵可以通过乘法组合。注意矩阵乘法的顺序非常重要（不满足交换律）。通常，变换按以下顺序应用：缩放 -> 旋转 -> 平移，即：
$\cdot R \cdot S$
但是，如果以不同的顺序应用，结果会不同。

例如，先绕Y轴旋转90度，再沿X轴平移3个单位，与先平移后旋转的结果不同：
先旋转后平移：点会先旋转，然后沿世界坐标系的X轴平移。
先平移后旋转：点先在世界坐标系中沿X轴平移，然后旋转（此时点的位置已经改变，旋转后位置不同）。

注意顺序：

缩放 (S)
旋转 ®
平移 (T)

这是因为矩阵乘法是 右乘结合： $\mathbf{p}' = T \cdot (R \cdot (S \cdot \mathbf{p}))$

特殊变换类型

1. 剪切矩阵（Shear）

$\begin{bmatrix} 1 & h_{xy} & h_{xz} & 0 \\ h_{yx} & 1 & h_{yz} & 0 \\ h_{zx} & h_{zy} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 正交投影矩阵

向XY平面投影：
$P_{\text{ortho}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

变换矩阵在编程中的实现

使用GLM（OpenGL Mathematics）库示例(两种写法)

GLM函数叠加运算

#include <glm/glm.hpp>
#include <glm/gtc/matrix_transform.hpp>// 初始化矩阵
glm::mat4 model = glm::mat4(1.0f); // 单位矩阵// 平移：沿X轴移动1.5单位
model = glm::translate(model, glm::vec3(1.5f, 0.0f, 0.0f));// 旋转：绕Z轴旋转90度
model = glm::rotate(model, glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));// 缩放：Y轴放大2倍
model = glm::scale(model, glm::vec3(1.0f, 2.0f, 1.0f));

变换顺序很重要：矩阵乘法从右到左应用变换，所以上面代码的顺序实际上是先缩放，再旋转，最后平移。
在组合变换时，考虑使用逆序：先进行的变换在矩阵乘法中放在右边（后乘），后进行的变换放在左边（先乘）
2. 计算好各个变换矩阵后再相乘

#include <glm/glm.hpp>
#include <glm/gtc/matrix_transform.hpp>
#include <glm/gtx/transform.hpp>int main() {// 单位矩阵glm::mat4 identity = glm::mat4(1.0f);// 平移变换：沿X轴移动2个单位glm::mat4 translation = glm::translate(glm::mat4(1.0), glm::vec3(2.0f, 0.0f, 0.0f));// 缩放变换：Y轴扩大3倍glm::mat4 scaling = glm::scale(glm::mat4(1.0), glm::vec3(1.0f, 3.0f, 1.0f));// 旋转变换：绕Z轴旋转45度glm::mat4 rotation = glm::rotate(glm::mat4(1.0), glm::radians(45.0f), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));// 绕任意轴旋转：绕(1,1,0)旋转30度glm::vec3 axis = glm::normalize(glm::vec3(1.0f, 1.0f, 0.0f));glm::mat4 customRotation = glm::rotate(glm::mat4(1.0), glm::radians(30.0f), axis);// 组合变换：先缩放，再旋转，最后平移glm::mat4 composite = translation * rotation * scaling;// 应用变换到点glm::vec4 point(1.0f, 1.0f, 0.0f, 1.0f);glm::vec4 transformedPoint = composite * point;return 0;
}

手动实现矩阵类

class Matrix4f {
public:float m[4][4];Matrix4f() { /* 初始化为单位矩阵 */ }static Matrix4f translate(float tx, float ty, float tz) {Matrix4f m;m.m[0][3] = tx;m.m[1][3] = ty;m.m[2][3] = tz;return m;}static Matrix4f scale(float sx, float sy, float sz) {Matrix4f m;m.m[0][0] = sx;m.m[1][1] = sy;m.m[2][2] = sz;return m;}static Matrix4f rotateX(float angle) {float rad = angle * M_PI/180.0;float c = cos(rad);float s = sin(rad);Matrix4f m;m.m[1][1] = c; m.m[1][2] = -s;m.m[2][1] = s; m.m[2][2] = c;return m;}Matrix4f operator*(const Matrix4f& right) const {// 矩阵乘法实现}Vec4f operator*(const Vec4f& v) const {// 矩阵向量乘法}
};

变换矩阵的性质与应用

齐次坐标
- 3D点：[x, y, z, 1]ᵀ
- 3D向量：[x, y, z, 0]ᵀ（防止被平移）
逆变换
- 平移逆矩阵：$ T^{-1}(t_x, t_y, t_z) = T(-t_x, -t_y, -t_z) $
- 缩放逆矩阵：$ S^{-1}(s_x, s_y, s_z) = S(1/s_x, 1/s_y, 1/s_z) $
- 旋转逆矩阵：$ R^{-1} = R^T $（正交矩阵）
组合变换求逆
组合变换的逆矩阵可以通过矩阵求逆得到。如果变换矩阵是正交的（纯旋转，不含缩放或错切），则转置就是逆矩阵。如果包含平移和缩放，则需要计算逆矩阵：

$\cdot R \cdot S)^{-1} = S^{-1} \cdot R^{-1} \cdot T^{-1}$
其中：
T −1 ：将平移向量取负。
R −1：旋转矩阵的转置（因为旋转矩阵正交）。
S −1：缩放因子的倒数（假设非零）。

在变换链中的位置

局部坐标 → 模型矩阵 → 世界坐标↓
世界坐标 → 视图矩阵 → 观察坐标↓
观察坐标 → 投影矩阵 → 裁剪坐标

可视化理解变换顺序

考虑一个点 P(0,1,0) 的变换过程：

正确的矩阵乘法顺序：
$P_{\text{final}} = \underset{\text{平移}}{\underbrace{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }} \times \underset{\text{旋转}}{\underbrace{ \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }} \times \underset{\text{缩放}}{\underbrace{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$