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数据库表的运算及表示方法

news 2025/7/31 22:31:11

在数据库中，表之间的运算核心基于关系代数，主要用于对多个表的元组（行）或属性（列）进行组合、筛选、合并等操作。这些运算需要遵循一定规则（如部分运算要求表“同构”——属性数量、类型、顺序一致），实际开发中常通过SQL语句实现。以下按运算类型分类，详细说明核心运算的符号、表示方法及示例。

一、基础集合运算（要求表“同构”）

基础集合运算包括并、交、差，三者均要求参与运算的两个表是“同构表”（属性数量、数据类型、顺序完全一致），结果仍为同构表。

1. 并运算（Union）

  • 定义：将两个表的所有元组合并，去除重复元组（保留所有不重复的行）。

  • 符号：∪（关系代数符号）；SQL中用 UNION（去重）或 UNION ALL（不去重）。

  • 表示方法：设表A和表B为同构表，则并运算表示为 A ∪ B。

  • 示例：
    现有两个学生表（同构，属性：学号、姓名）：
    表A（一班学生）：

    学号姓名
    001张三
    002李四

    表B（二班学生）：

    学号姓名
    002李四
    003王五

    并运算 A ∪ B 结果（去重后）：

    学号姓名
    001张三
    002李四
    003王五

    SQL实现（去重）：

    SELECT 学号, 姓名 FROM 表A
UNION
SELECT 学号, 姓名 FROM 表B;
2. 交运算（Intersection）

  • 定义：取两个表中共有的元组（同时存在于两个表中的行）。

  • 符号：∩（关系代数符号）；SQL中用 INTERSECT（部分数据库支持，如PostgreSQL、Oracle），或通过 IN/JOIN 模拟。

  • 表示方法：A ∩ B（结果为A和B共有的元组）。

  • 示例：
    基于上述表A和表B，交运算 A ∩ B 结果（仅共有的“李四”）：

    学号姓名
    002李四

    SQL实现（用JOIN模拟）：

    SELECT A.学号, A.姓名 
FROM 表A A
JOIN 表B B ON A.学号 = B.学号 AND A.姓名 = B.姓名; -- 同构表需匹配所有属性
3. 差运算（Difference）

  • 定义：取“属于第一个表但不属于第二个表”的元组（仅保留第一个表独有的行）。

  • 符号：－（关系代数符号）；SQL中用 EXCEPT（部分数据库支持），或通过 NOT IN/LEFT JOIN + IS NULL 模拟。

  • 表示方法：A - B（结果为A中存在、B中不存在的元组）。

  • 示例：
    基于上述表A和表B，A - B 结果（A独有的“张三”）：

    学号姓名
    001张三

    SQL实现（用LEFT JOIN模拟）：

    SELECT A.学号, A.姓名 
FROM 表A A
LEFT JOIN 表B B ON A.学号 = B.学号 AND A.姓名 = B.姓名
WHERE B.学号 IS NULL; -- 筛选B中无匹配的A元组

二、组合运算（不要求同构，核心为“笛卡尔积”及衍生）

组合运算用于将多个表的属性或元组“组合”，核心是笛卡尔积，以及基于笛卡尔积的连接运算（实际开发中更常用）。

1. 笛卡尔积（Cartesian Product）

  • 定义：将表A的每个元组与表B的每个元组“两两组合”，结果表的属性为A和B的所有属性（顺序：A在前，B在后），元组数量 = A的行数 × B的行数。

  • 符号：×（关系代数符号）；SQL中直接写多个表名（无连接条件时默认笛卡尔积）。

  • 表示方法：A × B（结果属性为A的所有属性 + B的所有属性）。

  • 示例：
    表A（学生表，属性：学号、姓名）：

    学号姓名
    001张三

    表B（课程表，属性：课程号、课程名）：

    课程号课程名
    C01数学
    C02语文

    笛卡尔积 A × B 结果（1×2=2行）：

    学号姓名课程号课程名
    001张三C01数学
    001张三C02语文

    SQL实现（无连接条件的多表查询）：

    SELECT A.学号, A.姓名, B.课程号, B.课程名 
FROM 表A A, 表B B; -- 等价于 A × B

  • 注意：笛卡尔积结果行数可能极大（如1万行表×1万行表=1亿行），实际中几乎不直接使用，而是通过“连接运算”加条件筛选。

2. 连接运算（Join）

连接运算基于“笛卡尔积 + 条件筛选”，是多表查询的核心（解决“表之间关联”问题，如“学生-选课-课程”的关联）。按条件不同可分为以下几类：

（1）等值连接（Equi-Join）

  • 定义：基于“某一属性值相等”的连接（从笛卡尔积中筛选出A的属性a与B的属性b相等的元组）。

  • 符号：⨝ₐ=ᵦ（关系代数中用⨝加条件a=b）；SQL中用 JOIN ... ON 条件。

  • 表示方法：A ⨝ₐ=ᵦ B（筛选A.a = B.b的元组）。

  • 示例：
    表A（学生表：学号、姓名）：

    学号姓名
    001张三

    表B（选课表：学号、课程号）：

    学号课程号
    001C01

    等值连接（条件：A.学号 = B.学号）结果：

    学号（A）姓名学号（B）课程号
    001张三001C01

    SQL实现：

    SELECT A.学号, A.姓名, B.学号, B.课程号 
FROM 表A A
JOIN 表B B ON A.学号 = B.学号; -- 等值条件
（2）自然连接（Natural Join）

  • 定义：特殊的等值连接——自动匹配两个表中名称相同的属性（无需手动指定条件），并去除重复的属性列（只保留一次相同属性）。

  • 符号：⨝（关系代数符号）；SQL中用 NATURAL JOIN（需确保同名字段语义一致）。

  • 表示方法：A ⨝ B（自动匹配同名字段，如A.学号和B.学号）。

  • 示例：
    基于上述表A（学生）和表B（选课），自然连接结果（自动匹配“学号”，去除重复学号列）：

    学号姓名课程号
    001张三C01

    SQL实现：

    SELECT * 
FROM 表A A
NATURAL JOIN 表B B; -- 自动匹配“学号”，结果无重复学号列

  • 注意：自然连接依赖“同名字段语义一致”（如均为“学号”），若存在同名字段但语义不同（如A.“编码”和B.“编码”分别指学生、课程），会导致错误，因此实际中更常用“等值连接+手动指定条件”。

（3）内连接（Inner Join）

  • 定义：仅保留“两个表中满足连接条件”的元组（不满足条件的元组全部丢弃）。

  • 符号：⨝（默认内连接，与等值连接符号一致，强调“只保留匹配项”）；SQL中用 INNER JOIN（可省略INNER）。

  • 与等值连接关系：内连接是“连接的筛选规则”，等值连接是“连接的条件类型”；等值连接默认是内连接（仅保留匹配元组）。

  • 示例：
    表A（学生）：

    学号姓名
    001张三
    002李四

    表B（选课）：

    学号课程号
    001C01

    内连接（A.学号 = B.学号）结果（仅保留匹配的“张三”）：

    学号姓名课程号
    001张三C01

    SQL实现：

    SELECT A.学号, A.姓名, B.课程号 
FROM 表A A
INNER JOIN 表B B ON A.学号 = B.学号; -- 李四无匹配，被丢弃
（4）外连接（Outer Join）

外连接与内连接的核心区别：保留不满足连接条件的元组（来自左表、右表或两者），未匹配的属性用NULL填充。分为左外连接、右外连接、全外连接。

外连接类型定义（保留的元组）符号（关系代数）SQL关键字
左外连接保留左表所有元组，右表无匹配则用NULL填充⟕LEFT OUTER JOIN
右外连接保留右表所有元组，左表无匹配则用NULL填充⟖RIGHT OUTER JOIN
全外连接保留左表和右表所有元组，无匹配则用NULL填充⟗FULL OUTER JOIN

  • 示例（左外连接）：
    基于上述表A（含李四）和表B（选课），左外连接（保留左表所有学生，包括未选课的李四）：

    学号姓名课程号
    001张三C01
    002李四NULL

    SQL实现：

    SELECT A.学号, A.姓名, B.课程号 
FROM 表A A
LEFT OUTER JOIN 表B B ON A.学号 = B.学号; -- 保留左表所有行
（5）非等值连接（Non-Equi Join）

  • 定义：基于“非等于”条件的连接（如>、<、>=、<=、BETWEEN等）。

  • 表示方法：A ⨝ₐ>ᵦ B（关系代数）；SQL中用 JOIN ... ON 非等值条件。

  • 示例：
    表A（学生成绩）：

    学号成绩
    00185

    表B（等级标准）：

    等级最低分最高分
    A80100

    非等值连接（条件：A.成绩 BETWEEN B.最低分 AND B.最高分）：

    学号成绩等级最低分最高分
    00185A80100

    SQL实现：

    SELECT A.学号, A.成绩, B.等级 
FROM 表A A
JOIN 表B B ON A.成绩 BETWEEN B.最低分 AND B.最高分; -- 非等值条件
（6）自连接（Self Join）

  • 定义：表与自身进行连接（需给表起别名区分“两个副本”），用于查询表内“存在关联的元组”（如“查询学生的同班同学”）。

  • 表示方法：A AS a ⨝ A AS b（用别名a和b区分同一表的两个副本）；SQL中通过别名实现。

  • 示例：
    表A（学生，含“班级”属性）：

    学号姓名班级
    001张三一班
    002李四一班
    003王五二班

    自连接查询“张三的同班同学”（条件：a.班级 = b.班级 且 a.学号 ≠ b.学号）：

    a.姓名b.姓名班级
    张三李四一班

    SQL实现：

    SELECT a.姓名, b.姓名, a.班级 
FROM 表A a
JOIN 表A b ON a.班级 = b.班级  -- 同班级AND a.学号 != b.学号; -- 排除自身
WHERE a.姓名 = '张三';

三、运算总结与核心区别

运算类型核心逻辑关键符号/关键字适用场景
并/交/差基于同构表的元组合并/筛选∪/∩/－；UNION/INTERSECT/EXCEPT合并结果、找共同/独有数据
笛卡尔积元组两两组合（无筛选）×；多表无连接条件查询作为连接运算的基础（极少直接用）
内连接保留满足条件的元组⨝；INNER JOIN只需要“匹配的数据”（如已选课学生）
外连接保留匹配+不匹配的元组（含NULL）⟕/⟖/⟗；LEFT/RIGHT/FULL JOIN需要“完整数据”（如含未选课学生）
自连接表与自身关联查询别名；JOIN+别名表内存在关联关系（如同班同学）

通过以上运算，可实现多表数据的灵活组合与筛选，其中内连接、外连接、自连接是实际开发中最常用的（解决表间关联问题），而并/交/差多用于同结构数据的合并或对比。

http://www.dtcms.com/a/304910.html

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