概率有限自动机定义与示例

这里介绍概率有限自动机 (Probabilistic Finite Automata, PFA) 的定义及其示例。

1. PFA 的定义

定义
概率有限自动机（PFA）是有限状态自动机（FA）的扩展，它在状态转移中引入概率，用于建模随机过程或不确定性系统。
形式上，一个 PFA 是一个五元组：

        
其中：

            ：有限状态集合

            ：有限输入字母表

            ：概率转移函数，满足  

           ：初始状态

          ：接受状态集合

          ：终止概率函数（某些定义中可省略）

关键点：

            每一步转移是概率性的，而非确定性；同时，接受一个字符串的概率 = 所有接受路径概率之和（归一性）。

2. PFA 的一些特点

        PFA 有语言识别能力，可以识别随机语言（Stochastic Languages），即对每个字符串  赋予一个概率 ；而且，PFA 与加权自动机（Weighted Automata） 密切相关，这里先不展开；当所有转移概率为 0或1 时，PFA 退化为 DFA；但 PFA 的表达能力 严格强于 DFA/NFA，可以建模概率分布；PFA 是 概率图灵机（Probabilistic Turing Machine） 的有限状态版本；可用于建模 马尔可夫链（Markov Chains）；最后重复地强调一点，对任意状态和输入符号，所有出转移概率之和必须为 1（即概率分布），这是所谓的归一性。

3. 几个 PFA 的示例

(1) 简单示例：二进制输入的随机切换

问题：以 0.5 概率在状态   和  之间切换，输入字母表  。
PFA  Def：

    状态：

    转移：

               

               

               

               

    初始状态：

    接受状态：,  

    行为：无论输入多少 ，始终以 50% 概率停留在    或    。

    接受概率：若最终停在  ，则接受，否则拒绝。

(2) 复杂示例：带终止概率的PFA

问题：建模一个系统，输入 ，遇到  时以 0.7 概率保持状态，0.3 概率切换；遇到  时以 0.9 概率终止。
PFA Def：

    状态：

    转移：

               

               

               

    初始状态：

    接受状态：, 

    行为：

                输入 ：

                路径 1:

                        概率 =

                路径 2: → 提前终止

                        概率 =

                总接受概率 =

(3) 更复杂示例：3状态PFA

思考实际问题：建模一个天气系统（晴、雨、阴），状态转移受输入（升温/降温）影响。

PFA Def：

    状态：

    转移：

        输入 （升温）：

           

           

           

           

           

        输入 （降温）：

           

           

           

           

    初始状态：

    接受状态：,

    行为：

         输入序列  的可能路径：

              → 不接受

              → 不接受

          接受概率 = 0（无路径以  结束）。

4. 小结

        PFA 通过概率转移扩展了有限自动机的能力，适合建模随机过程。简单 PFA 可用于模拟硬币抛掷等基础随机事件，复杂 PFA 可描述天气系统、语言模型等。与DFA/NFA 的关键区别在于，DFA/NFA 回答“是否接受”，而 PFA 回答“以何概率接受”。